Sekvenser och mönsterSpeciella sekvenser
Förutom En aritmetisk sekvens (ibland kallad aritmetisk progression) är en sekvens med siffror där skillnaden d mellan på varandra följande termer alltid är konstant. En geometrisk sekvens (ibland kallad geometrisk progression) är en sekvens med siffror där förhållandet r mellan på varandra följande termer alltid är konstant. Sekvensen med Fibonacci-siffror börjar med 1, 1. Varje följande term är summan av de två föregående termerna, vilket innebär att den rekursiva formeln är Figurnummer är siffror som kan representeras med geometriska former. Exempel inkluderar kvadrat-, triangel- och tetraedrala tal.
Prime Numbers
Ett exempel som du redan har sett tidigare är Ett primtal är ett positivt heltal som inte har andra faktorer än 1 och sig själv. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... Ett tal a är en faktor (eller divisor) för ett nummer b, om du kan dela b av a utan resten.
Här är de första huvudnumren:
2, 3, 5, 7, 11,
Tyvärr följer inte primtal ett enkelt mönster eller en rekursiv formel. Ibland visas de direkt intill varandra (dessa kallas Två primes är par av primtal som 17 och 19 eller 101 och 103, som är exakt två varandra. Det är okänt om det finns oändligt många par tvillingprimor.
Primtal har inte heller en enkel geometrisk representation som En triangelnummer är ett heltal som kan representeras som en liksidig triangel med prickar. Formeln för n triangelns nummer är Ett kvadratnummer är ett tal som kan uttryckas som kvadratet för ett annat heltal. De första kvadratnumren är 1, 4, 9, 16, 25, ...
Du kan lära dig mer om dessa och andra egenskaper hos primtal i vår kurs om Delbarhet och primes. De är några av de viktigaste och mest mystiska begreppen i matematik!
perfekta siffror
För att avgöra om ett tal är Ett primtal är ett positivt heltal som inte har andra faktorer än 1 och sig själv. De första primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... Ett tal a är en faktor (eller divisor) för ett nummer b, om du kan dela b av a utan resten.
Number | Factors | Sum of Factors |
5 | 1 | 1 |
6 | 1 2 3 | 6 |
7 | 1 | 1 |
8 | 1 2 4 | 7 |
9 | 1 3 | 4 |
10 | 1 2 5 | |
11 | 1 | |
12 | 1 2 3 4 6 | |
13 | 1 | |
14 | 1 2 7 | |
15 | 1 3 5 | |
16 | 1 2 4 8 | |
17 | 1 | |
18 | 1 2 3 6 9 |
Låt oss jämföra dessa siffror med deras summa av faktorer:
För de flesta siffror är summan av dess faktorer
För några få siffror är summan av dess faktorer större än sig själv. Dessa nummer kallas rikligt med.
Endast ett nummer i listan ovan har en summa av faktorer som är lika till sig själv: Ett perfekt tal är ett tal som är lika med summan av dess delare (exklusive sig själv). Till exempel är
Nästa perfekta nummer är 28, för om vi lägger till alla dess faktorer får vi
6, 28, 496, 8,128, 33,550,336, 8,589,869,056, 137,438,691,328, 2,305,843,008,139,952,128, …
Lägg märke till att alla dessa siffror är
Perfekt antal studerades först av forntida grekiska matematiker som Euklid av Alexandria (cirka 300 fvt) var en grekisk matematiker och kallas ofta geometriens fader. Han publicerade en bok Elements som först introducerade euklidisk geometri och innehöll många viktiga bevis inom geometri och talteori. Det var den huvudsakliga matematikboken fram till 1800-talet. Han undervisade i matematik i Alexandria, men mycket lite annat är känt om hans liv. Pythagoras of Samos (c. 570 - 495 fvt) var en grekisk filosof och matematiker. Han är mest känd för att bevisa Pythagoras 'teorem, men gjorde många andra matematiska och vetenskapliga upptäckter. Pythagoras försökte förklara musik på ett matematiskt sätt och upptäckte att två toner låter "trevligt" tillsammans (konsonant) om förhållandet mellan deras frekvenser är en enkel bråk. Han grundade också en skola i Italien där han och hans elever dyrkade matematik nästan som en religion, medan han följde ett antal bisarra regler - men skolan brändes så småningom av deras motståndare. Nicomachus från Gerasa (ca 60 - 120) var en forntida grekisk matematiker som också spenderade mycket tid på att tänka på de mystiska egenskaperna hos siffror. Hans bok Introduktion till aritmetik innehåller första omnämnandet av perfekta siffror.
Idag har matematiker använt datorer för att kontrollera de första 10 1500 -numren (det är ett 1 följt av 1500 nollor), men utan framgång: alla perfekta siffror de hittade var jämn. Än idag är det fortfarande okänt om det finns några udda perfekta siffror, vilket gör det till det äldsta olösta problemet i hela matematiken!
The Hailstone Sequence
De flesta av de sekvenser vi hittills har sett hade en enda regel eller mönster. Men det finns ingen anledning till att vi inte kan kombinera flera olika - till exempel en rekursiv formel som denna:
If | |
If |
Låt oss börja med
5,
Det ser ut som att efter några termer, sekvensen når en "cykel": 4, 2, 1 kommer att fortsätta att upprepa om och om igen, för alltid.
Naturligtvis kunde vi ha valt en annan utgångspunkt, som
, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …
Det verkar som att sekvensens längd varierar mycket, men den kommer alltid att hamna i en cykel på 4, 2, 1 - oavsett vilket första nummer vi väljer. Vi kan till och med visualisera termerna i sekvensen i ett diagram:
Lägg märke till hur vissa startpunkter slutar mycket snabbt, medan andra (som eller ) tar mer än hundra steg innan de når 4, 2, 1 cykel.
Alla sekvenser som följer denna rekursiva formel kallas Hailstone-sekvenser kan genereras genom att välja valfritt heltal som utgångspunkt och sedan följa dessa regler: Om Om
1937 föreslog matematikern Lothar Collatz (1910 - 1990) var en tysk matematiker som arbetade med differentiella ekvationer och optimeringsproblem. Problemet Collatz conjecture eller
Men det finns oändligt många heltal. Det är omöjligt att kontrollera var och en av dem och ingen har kunnat hitta ett Ett bevis är ett logiskt argument som visar över alla tvivel att ett visst uttalande är sant.
Precis som sökandet efter udda perfekta siffror är detta fortfarande ett öppet problem i matematik. Det är fantastiskt att dessa enkla mönster för sekvenser kan leda till frågor som har mystifierat till och med de bästa matematikerna i världen i århundraden!
Look-and-Say-sekvensen
Här är ytterligare en sekvens som skiljer sig lite från alla de du har sett ovan. Kan du hitta mönstret?
1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, …
Denna sekvens kallas Look-and-Say -sekvensen, och mönstret är precis vad namnet säger: du börjar med en 1, och varje följande term är vad du får om du "läser högt" föregående. Här är ett exempel:
Kan du nu hitta nästa termer?
…, 312211,
Denna sekvens används ofta som ett pussel för att resa upp matematiker - eftersom mönstret verkar vara helt icke-matematiskt. Men som det visar sig har sekvensen många intressanta egenskaper. Till exempel slutar varje term på
Den brittiska matematikern John Horton Conway (1937 - 2020) var en brittisk matematiker som arbetade vid Cambridge och Princeton University. Han var en kollega i Royal Society och den första mottagaren av Pólya-priset. Han utforskade den underliggande matematiken för vardagsobjekt som knutar och spel, och han bidrog till gruppteori, talteori och många andra områden inom matematik. Conway är känd för att ha uppfunnit "Conway's Game of Life", en mobilautomat med fascinerande egenskaper.
Sequence Quiz
Du har nu sett otaliga olika matematiska sekvenser - några baserade på geometriska former, några som följer specifika formler och andra som verkar uppträda nästan slumpmässigt.
I denna frågesport kan du kombinera all din kunskap om sekvenser. Det finns bara ett mål: hitta mönstret och beräkna de kommande två termerna!
Find the next number
7, 11, 15, 19, 23, 27,
11, 14, 18, 23, 29, 36,
3, 7, 6, 10, 9, 13,
2, 4, 6, 12, 14, 28,
1, 1, 2, 3, 5, 8,
27, 28, 30, 15, 16, 18,
1, 9, 25, 49, 81, 121,