Ordlista

Välj ett av nyckelorden till vänster ...

Sekvenser och mönsterSpeciella sekvenser

Lästid: ~45 min

Förutom aritmetiska och geometriska sekvenser, Fibonacci-nummer och figurnummer finns det otaliga intressanta sekvenser som inte följer en liknande , vanligt mönster.

Prime Numbers

Ett exempel som du redan har sett tidigare är Primnummer. Vi säger att ett tal är prim om det inte har några faktorer .

Här är de första huvudnumren:

2, 3, 5, 7, 11, , , , …

Tyvärr följer inte primtal ett enkelt mönster eller en rekursiv formel. Ibland visas de direkt intill varandra (dessa kallas tvillingprimor), och ibland finns det stora luckor mellan dem. De verkar distribueras nästan slumpmässigt!

Primtal har inte heller en enkel geometrisk representation som triangel eller kvadratiska siffror, men med lite arbete kan vi avslöja intressanta mönster:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100

Om vi ​​kryssar ut alla multiplar av små heltal måste alla återstående siffror vara primata. Denna metod kallas Sieve of Eratosthenes.

Om vi ​​ritar ett diagram som ökar med 1 när det finns ett primtal, får vi en "stegad" funktion med fascinerande egenskaper.

Du kan lära dig mer om dessa och andra egenskaper hos primtal i vår kurs om Delbarhet och primes. De är några av de viktigaste och mest mystiska begreppen i matematik!

perfekta siffror

För att avgöra om ett tal är prim måste vi hitta alla dess faktorer. Vanligtvis skulle vi multiplicera dessa faktorer för att få tillbaka det ursprungliga numret, men låt oss se vad som händer om vi lägger till alla faktorer i ett nummer (exklusive numret i sig):

NumberFactorsSum of Factors
5
1
1
6
1
2
3
6
7
1
1
8
1
2
4
7
9
1
3
4
10
1
2
5
11
1
12
1
2
3
4
6
13
1
14
1
2
7
15
1
3
5
16
1
2
4
8
17
1
18
1
2
3
6
9

Låt oss jämföra dessa siffror med deras summa av faktorer:

För de flesta siffror är summan av dess faktorer själv. Dessa nummer kallas bristfälliga nummer.

För några få siffror är summan av dess faktorer större än sig själv. Dessa nummer kallas rikligt med.

Endast ett nummer i listan ovan har en summa av faktorer som är lika till sig själv: . Detta kallas ett perfekt nummer.

Nästa perfekta nummer är 28, för om vi lägger till alla dess faktorer får vi 1+2+4+7+14=28. Därefter blir perfekta siffror mycket sällsyntare:

6, 28, 496, 8,128, 33,550,336, 8,589,869,056, 137,438,691,328, 2,305,843,008,139,952,128, …

Lägg märke till att alla dessa siffror är . Det visar sig att de också alla är triangelnummer!

Perfekt antal studerades först av forntida grekiska matematiker som Euclid, Pythagoras och Nicomachus, för mer än 2000 år sedan. De beräknade de första perfekta siffrorna och undrade om det kan finnas några udda.

Idag har matematiker använt datorer för att kontrollera de första 10 1500 -numren (det är ett 1 följt av 1500 nollor), men utan framgång: alla perfekta siffror de hittade var jämn. Än idag är det fortfarande okänt om det finns några udda perfekta siffror, vilket gör det till det äldsta olösta problemet i hela matematiken!

Euklid av Alexandria

The Hailstone Sequence

De flesta av de sekvenser vi hittills har sett hade en enda regel eller mönster. Men det finns ingen anledning till att vi inte kan kombinera flera olika - till exempel en rekursiv formel som denna:

If xn is even:xn+1=xn/2
If xn is odd:xn+1=3xn+1

Låt oss börja med x1=5 och se vad som händer:

5, ×3 +1, ÷2, ÷2, ÷2, ÷2, ×3 +1, ÷2, ÷2, …

Det ser ut som att efter några termer, sekvensen når en "cykel": 4, 2, 1 kommer att fortsätta att upprepa om och om igen, för alltid.

Naturligtvis kunde vi ha valt en annan utgångspunkt, som ${n}. Då skulle sekvensen se ut så här:

${hailstones(n)}, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, …

Det verkar som att sekvensens längd varierar mycket, men den kommer alltid att hamna i en cykel på 4, 2, 1 - oavsett vilket första nummer vi väljer. Vi kan till och med visualisera termerna i sekvensen i ett diagram:

Start value:${n}

Lägg märke till hur vissa startpunkter slutar mycket snabbt, medan andra (som eller ) tar mer än hundra steg innan de når 4, 2, 1 cykel.

Alla sekvenser som följer denna rekursiva formel kallas Hailstone Sequences, eftersom de verkar röra sig slumpmässigt upp och ner innan de når 4, 2, 1 cykeln - precis som hagelstenar som rör sig upp och ner i ett moln innan jag kraschar till jorden.

1937 föreslog matematikern Lothar Collatz att varje haglstenssekvens slutligen slutar i en 4, 2, 1-cykel - vilket startvärde du än väljer. Du har redan kontrollerat några utgångspunkter ovan, och datorer har faktiskt testat alla siffror upp till 1020 - det är 100 miljarder miljarder eller 1 följt av tjugo nollor.

Men det finns oändligt många heltal. Det är omöjligt att kontrollera var och en av dem och ingen har kunnat hitta ett bevis som fungerar för alla.

Precis som sökandet efter udda perfekta siffror är detta fortfarande ett öppet problem i matematik. Det är fantastiskt att dessa enkla mönster för sekvenser kan leda till frågor som har mystifierat till och med de bästa matematikerna i världen i århundraden!

Look-and-Say-sekvensen

Här är ytterligare en sekvens som skiljer sig lite från alla de du har sett ovan. Kan du hitta mönstret?

1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, …

Denna sekvens kallas Look-and-Say -sekvensen, och mönstret är precis vad namnet säger: du börjar med en 1, och varje följande term är vad du får om du "läser högt" föregående. Här är ett exempel:

Kan du nu hitta nästa termer?

…, 312211, , , …

Denna sekvens används ofta som ett pussel för att resa upp matematiker - eftersom mönstret verkar vara helt icke-matematiskt. Men som det visar sig har sekvensen många intressanta egenskaper. Till exempel slutar varje term på , och ingen siffra som är större än kommer någonsin att användas.

Den brittiska matematikern John Conway upptäckte att oavsett vilket nummer du väljer som utgångsvärde kommer sekvensen så småningom att delas upp i distinkta "sektioner" som inte längre interagerar med varandra. Conway kallade detta den kosmologiska teorem och namngav de olika sektionerna med hjälp av de kemiska elementen väte, helium, litium, ... Plutonium.

Sequence Quiz

Du har nu sett otaliga olika matematiska sekvenser - några baserade på geometriska former, några som följer specifika formler och andra som verkar uppträda nästan slumpmässigt.

I denna frågesport kan du kombinera all din kunskap om sekvenser. Det finns bara ett mål: hitta mönstret och beräkna de kommande två termerna!

Find the next number

7, 11, 15, 19, 23, 27, , , … Mönster: Alltid +4

11, 14, 18, 23, 29, 36, , , … Mönster: +3, +4, +5, +6, ...

3, 7, 6, 10, 9, 13, , , … Mönster: +4, –1, +4, –1,…

2, 4, 6, 12, 14, 28, , , … Mönster: × 2, +2, × 2, +2, ...

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , … Mönster: Fibonacci-nummer

27, 28, 30, 15, 16, 18, , , … Mönster: +1, +2, ÷ 2, +1, +2, ÷ 2, ...

1, 9, 25, 49, 81, 121, , , … Mönster: Udda kvadratiska nummer