Ordlista

Välj ett av nyckelorden till vänster ...

Sekvenser och mönsterFibonacci-nummer

Lästid: ~45 min

Föreställ dig att du har fått ett par babykaniner, en hane och en kvinna. De är väldigt speciella kaniner, eftersom de aldrig dör, och den kvinnliga föder ett nytt par kaniner exakt en gång i månaden (alltid ett par manliga och kvinnliga par).

1
1
2
3
5
8
In the first month, the rabbits are very small and can’t do much – but they grow very quickly.
After one month, the rabbits are grown up and can start mating…
… and after another month, they will give birth to their first pair of kids. You now have two pairs of rabbits.
In the next month, your pair of rabbits will give birth to another couple. Meanwhile, the first pair of kids have grown up. You now have three pairs in total.
In the fifth month, your original pair of rabbits will give birth to a new pair. At the same time, their first pair of kids is now old enough to give birth to grandchildren. You now have five pairs of rabbits.
In the sixth month, there are three more couples that give birth: the original one, as well as their first two pairs or kids.

Under följande månad skulle du ha 13 par kaniner: de åtta från föregående månad, plus 5 nya uppsättningar av spädbarn. Kan du upptäcka ett mönster i den här sekvensen?

Antalet kaniner under en viss månad är . Med andra ord måste du lägga till _tidigare två termer i sekvensen för att få nästa. Sekvensen börjar med två 1s, och rekursiv formel är_

xn = xn1 + xn2

Kan du beräkna antalet kaniner efter några månader till?

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , , , , , …

Så efter 12 månader har du 144 par kaniner!

Denna sekvens av nummer kallas Fibonacci Sequence, uppkallad efter den italienska matematikern Leonardo Fibonacci.

När Fibonacci föddes 1175 använde de flesta människor i Europa fortfarande det romerska siffrsystemet för nummer (t.ex. IVX eller MCMLIV). Fibonciens far var köpman och tillsammans reste de både till norra Afrika och Mellanöstern. Det var där Fibonacci först lärde sig arabiska siffersystemet.

När han återvände till Italien skrev Fibonacci en bok som heter Liber Abaci (latin för ”The Book of Calculations”), där han först introducerade de nya arabiska siffrorna för europeiska handlare. De var en omedelbar framgång - och vi använder dem fortfarande idag.

Portrait of Leonardo Fibonacci

På en av sidorna i sin bok undersökte han också kaninernas avelsmönster - det är därför Fibonacci-numren fick sitt namn efter honom.

Pages from Fibonacci’s Liber Abaci

Naturligtvis är Fibonacci-siffrorna inte hur kaniner faktiskt befolkar i verkliga livet. Kaniner har inte exakt en manlig och en kvinnlig avkom varje månad, och vi har inte redovisat att kaniner dör så småningom.

Men det visar sig att det finns många andra platser i naturen där Fibonacci-nummer gör visas: till exempel spiralerna i växter. Kan du räkna hur många spiraler det finns i varje riktning?

Original
Clockwise
Countercw.

Denna kotte har spiraler medurs och moturs spiraler.

Original
Clockwise
Countercw.

Denna solros har 34 medurs spiraler och 55 moturs spiraler.

I båda fallen är antalet spiraler i följd Fibonacci-nummer. Detsamma gäller för många andra växter: nästa gång du går ut, räkna antalet kronblad i en blomma eller antalet löv på en stjälk. Mycket ofta kommer du att upptäcka att det är Fibonacci-nummer!

Naturligtvis är detta inte bara en slump. Det finns ett viktigt skäl till att naturen gillar Fibonacci-sekvensen, som du lär dig mer om senare.

Male
Female

Fibonacci-nummer visas också i populationerna av honungsbin.

I varje bi-koloni finns en drottning som lägger många ägg. Om ett ägg befruktas av ett manbi, kläcks det till ett kvinnligt bi. Om den inte befruktas kläcks den i en hane bi (kallas drönare).

Detta betyder att kvinnliga bin har , medan manliga bin bara har .

Om vi ​​ritar ett bi, är antalet föräldrar, morföräldrar, morföräldrar och tidigare generationer alltid Fibonacci-nummer!

Ibland matas unga kvinnliga bin med särskild mat som kallas "kunglig gelé". I så fall förvandlas de till drottningar och flyger iväg för att starta en ny bikupa.

Golden Ratio

Precis som triangeln och kvadratiska siffrorna och andra sekvenser som vi har sett tidigare, kan Fibonacci-sekvensen visualiseras med hjälp av ett geometriskt mönster:

1 1 2 3 5 8 13 21
We start with two small squares of size 1.
Next, we add a new square of size 2, to form a larger rectangle.
Next, we add a square of size 3, to form an even larger rectangle.
The next square has size 5. Can you see that we’re recreating the Fibonacci numbers?
If we continue adding squares, they will have size 8, 13, 21, and so on.
You might have noticed that, as the rectangles get larger, they seem to start “spiraling” outwards. We can even visualise this by drawing a perfect spiral that connects the corners of the squares.

Vid varje steg bildar rutorna en större rektangel. Dess bredd och höjd är alltid två Fibonacci-nummer i följd. Rektangelns bildförhållande är förhållandet mellan dess bredd och höjd:

golden-1

21 = 2

golden-2

32 = 1,5

golden-3

53 = 1,666 ...

golden-4

85 = 1,6

golden-5

= 1.625

golden-6

= 1,62 ...

Lägg märke till hur, när vi lägger till fler och fler rutor, verkar bildförhållandet närma sig och närmare ett specifikt nummer runt 1,6. Detta nummer kallas Golden Ratio och representeras vanligtvis av den grekiska bokstaven φ (“phi”). Dess exakta värde är

1+52=1.61803398875

Många tror att det gyllene förhållandet är särskilt estetiskt tilltalande. Det är därför det ofta används av konstnärer och arkitekter - som i dessa två exempel:

Den grekiska skulptören Phidias sägs ha använt Golden-förhållandet när han utformade Parthenon i Aten. Den första bokstaven i hans namn, φ, är den symbol vi nu använder för det gyllene förhållandet.

Sacrament of the Last Supper, av den spanska konstnären Salvador Dalí, är en av många målningar i det gyllene förhållandet. I bakgrunden kan du också se en stor dodecahedron.

Vi kan ungefärligt gyllene förhållandet genom att två Fibonacci-nummer i följd.

Det visar sig emellertid att det exakta värdet för φ inte kan skrivas som en enkel bråk: det är ett irrationellt nummer, precis som π och 2 och några andra nummer du har sett tidigare.

Fibonacci-spiraler

Det gyllene förhållandet förklarar varför Fibonacci-siffror visas i naturen, som solrosen och kotten som du såg i början av detta avsnitt.

Båda dessa växter växer utåt från deras centrum (en del av växten som kallas meristem). När nya frön, löv eller kronblad läggs, skjuter de de befintliga längre utåt.

Flytta reglaget till höger för att visualisera hur en växt växer. Lägg märke till hur varje blad läggs till med en annan rotation än det föregående. Vinkeln mellan två på varandra följande blad är alltid densamma.

Det är viktigt för blommor att välja en lämplig vinkel: bladen eller frönna måste vara ungefär lika fördelade så att de får den största mängden solljus och näringsämnen. I diagrammet nedan kan du undersöka hur en solros kan se ut med olika vinklar mellan dess frön:

Om vinkeln är kommer alla frön att växa i en enda lång rad bort från mitten.
Om vinkeln är av en hel rotation (180 °) kommer fröna att växla mellan två separata "armar" som rör sig bort från mitten.
Om rotationen är en annan del av 360 °, till exempel eller eller , då kommer antalet "armar" att vara detsamma som för den fraktionen.
Tyvärr är "armar" dåliga, eftersom de betyder att fröna inte är jämnt fördelade: allt utrymmet mellan armarna slösas bort. Men om rationella siffror inte kommer att fungera, låt oss försöka irrationella siffror!
Ett exempel på ett irrationellt nummer är π. Men om vinkeln mellan frön är på 360 °, verkar vi fortfarande få armar: 22 av dem. Det beror på att fraktionen 227=3.1429 är en ganska bra approximation för π. Det vi verkligen behöver är ett irrationellt tal som inte kan närmas med en enkel bråk.
Det visar sig att gyllene förhållandet bara är det: det 'mest irrationella' av alla irrationella siffror. Om vinkeln mellan frön är på 360 °, verkar de vara nästan perfekt åtskilda. Och det är just den vinkel som växter runt om i världen använder.

Du kommer kanske att komma ihåg från ovan att förhållandena mellan på varandra följande Fibonacci-nummer kommer närmare och närmare det gyllene förhållandet - och det är därför, om du räknar antalet spiraler i en växt, kommer du ofta att hitta ett Fibonacci-nummer.

Det är viktigt att komma ihåg att naturen inte vet om Fibonacci-nummer. Naturen kan inte lösa ekvationer för att beräkna det gyllene förhållandet - men under miljoner år hade växter god tid att prova olika vinklar och upptäcka det bästa.

Växter och djur vill alltid växa på det mest effektiva sättet, och det är därför naturen är full av regelbundna, matematiska mönster.

Fibonachos

Hittills har vi bara använt den rekursiva ekvationen för Fibonacci-nummer. Det finns faktiskt en uttrycklig ekvation också - men det är mycket svårare att hitta:

Fn=151+52n152n

Vi kan också prova att välja olika utgångspunkter för Fibonacci-siffrorna. Om vi ​​till exempel börjar med 2, 1, ... snarare än 1, 1, ... får vi en sekvens som heter Lucas-numren.

Det visar sig att oavsett två startnummer du väljer, de resulterande sekvenserna delar många egenskaper. Exempelvis kommer förhållandena mellan på varandra följande termer alltid att konvergera till det gyllene förhållandet.

${a}, ${b}, ${a+b}<<<<, ${a+2×b}<<<<, ${2×a+3×b}<<<<, ${3×a+5×b}<<<< , ${5×a+8×b}<<<<, ${8×a+13×b}<<<<, ...

Det finns många andra pussel, mönster och applikationer relaterade till Fibonacci-nummer. Här är några exempel som du kan prova själv:

Problem solving

1. Fibonacci delbarhet

(a) Vilka Fibonacci-nummer är jämnt? Finns det ett mönster där de är placerade längs sekvensen? Kan du förklara varför?

(b) Vilka Fibonacci-nummer kan delas med 3 (eller delas med 4)? Vad märker du?


2. Fibonacci Sums

Vad händer om du lägger till tre Fibonacci-nummer i följd? Kan du förklara varför?


3. Fibonacci trappor

När jag går uppför trappan kan jag antingen ta enstaka steg eller hoppa över två steg åt gången. Det innebär att det finns många olika möjligheter för hur jag kan gå upp en trappa. Om det till exempel finns 5 steg har jag 8 olika val:

Hur många alternativ finns det för trappa med 6, 7 eller 8 steg? Kan du upptäcka ett mönster? Och hur är detta relaterat till Fibonacci-siffrorna?

© FoxTrot, by Bill Amend