Sekvenser och mönsterFibonacci-nummer

Föreställ dig att du har fått ett par babykaniner, en hane och en kvinna. De är väldigt speciella kaniner, eftersom de aldrig dör, och den kvinnliga föder ett nytt par kaniner exakt en gång i månaden (alltid ett par manliga och kvinnliga par).

1

1

2

3

5

8

In the first month, the rabbits are very small and can’t do much – but they grow very quickly.

After one month, the rabbits are grown up and can start mating…

… and after another month, they will give birth to their first pair of kids. You now have two pairs of rabbits.

In the next month, your pair of rabbits will give birth to another couple. Meanwhile, the first pair of kids have grown up. You now have three pairs in total.

In the fifth month, your original pair of rabbits will give birth to a new pair. At the same time, their first pair of kids is now old enough to give birth to grandchildren. You now have five pairs of rabbits.

In the sixth month, there are three more couples that give birth: the original one, as well as their first two pairs or kids.

Under följande månad skulle du ha 13 par kaniner: de åtta från föregående månad, plus 5 nya uppsättningar av spädbarn. Kan du upptäcka ett mönster i den här sekvensen? Fortsätt

Antalet kaniner under en viss månad är summan av de två tidigare siffrornatwice the previous number. Med andra ord måste du lägga till tidigare två termer i sekvensen för att få nästa. Sekvensen börjar med två 1s, och rekursiv formel är

xn = xn−1 + xn−2

Kan du beräkna antalet kaniner efter några månader till?

1, 1, 2, 3, 5, 8, , , , , , , …

Så efter 12 månader har du 144 par kaniner!

Denna sekvens av nummer kallas Fibonacci Sequence, uppkallad efter den italienska matematikern Leonardo Fibonacci.

På en av sidorna i sin bok undersökte han också kaninernas avelsmönster - det är därför Fibonacci-numren fick sitt namn efter honom.

Naturligtvis är Fibonacci-siffrorna inte hur kaniner faktiskt befolkar i verkliga livet. Kaniner har inte exakt en manlig och en kvinnlig avkom varje månad, och vi har inte redovisat att kaniner dör så småningom.

Men det visar sig att det finns många andra platser i naturen där Fibonacci-nummer gör visas: till exempel spiralerna i växter. Kan du räkna hur många spiraler det finns i varje riktning?

I båda fallen är antalet spiraler i följd Fibonacci-nummer. Detsamma gäller för många andra växter: nästa gång du går ut, räkna antalet kronblad i en blomma eller antalet löv på en stjälk. Mycket ofta kommer du att upptäcka att det är Fibonacci-nummer!

Naturligtvis är detta inte bara en slump. Det finns ett viktigt skäl till att naturen gillar Fibonacci-sekvensen, som du lär dig mer om senare.

Golden Ratio

Precis som triangeln och kvadratiska siffrorna och andra sekvenser som vi har sett tidigare, kan Fibonacci-sekvensen visualiseras med hjälp av ett geometriskt mönster:

Vid varje steg bildar rutorna en större rektangel. Dess bredd och höjd är alltid två Fibonacci-nummer i följd. Rektangelns bildförhållande är förhållandet mellan dess bredd och höjd:

Lägg märke till hur, när vi lägger till fler och fler rutor, verkar bildförhållandet närma sig och närmare ett specifikt nummer runt 1,6. Detta nummer kallas Golden Ratio och representeras vanligtvis av den grekiska bokstaven φ (“phi”). Dess exakta värde är

1+52=1.61803398875…

Många tror att det gyllene förhållandet är särskilt estetiskt tilltalande. Det är därför det ofta används av konstnärer och arkitekter - som i dessa två exempel:

Den grekiska skulptören Phidias sägs ha använt Golden-förhållandet när han utformade Parthenon i Aten. Den första bokstaven i hans namn, φ, är den symbol vi nu använder för det gyllene förhållandet.

Sacrament of the Last Supper, av den spanska konstnären Salvador Dalí, är en av många målningar i det gyllene förhållandet. I bakgrunden kan du också se en stor dodecahedron.

Vi kan ungefärligt gyllene förhållandet genom att delaaddingsubtracting två Fibonacci-nummer i följd.

Det visar sig emellertid att det exakta värdet för φ inte kan skrivas som en enkel bråk: det är ett irrationellt nummer, precis som π och 2 och några andra nummer du har sett tidigare.

Fibonacci-spiraler

Det är viktigt för blommor att välja en lämplig vinkel: bladen eller frönna måste vara ungefär lika fördelade så att de får den största mängden solljus och näringsämnen. I diagrammet nedan kan du undersöka hur en solros kan se ut med olika vinklar mellan dess frön:

Fibonachos

Hittills har vi bara använt den rekursiva ekvationen för Fibonacci-nummer. Det finns faktiskt en uttrycklig ekvation också - men det är mycket svårare att hitta:

Fn=151+52n−1−52n

Vi kan också prova att välja olika utgångspunkter för Fibonacci-siffrorna. Om vi ​​till exempel börjar med 2, 1, ... snarare än 1, 1, ... får vi en sekvens som heter Lucas-numren.

Det visar sig att oavsett två startnummer du väljer, de resulterande sekvenserna delar många egenskaper. Exempelvis kommer förhållandena mellan på varandra följande termer alltid att konvergera till det gyllene förhållandet.

${a}, ${b}, ${a+b}<<<<, ${a+2×b}<<<<, ${2×a+3×b}<<<<, ${3×a+5×b}<<<< , ${5×a+8×b}<<<<, ${8×a+13×b}<<<<, ...

Det finns många andra pussel, mönster och applikationer relaterade till Fibonacci-nummer. Här är några exempel som du kan prova själv: