Ordlista

Välj ett av nyckelorden till vänster ...

Sekvenser och mönsterIntroduktion

Lästid: ~25 min

Många yrken som använder matematik är intresserade av en specifik aspekt - hitta mönster, samt att kunna förutsäga framtiden. Här är några exempel:

Under det senaste decenniet har polisavdelningar runt om i världen börjat förlita sig mer och mer på matematik. Speciella algoritmer kan använda data från tidigare brott för att förutsäga när och var brott kan tänkas inträffa i framtiden. Exempelvis hjälpte PredPol -systemet (förkortning för ”prediktiv polisering”) att minska brottsfrekvensen i delar av Los Angeles med 12%!

Det visar sig att jordbävningar följer liknande mönster som brott. Precis som ett brott kan utlösa hämnd, kan en jordbävning utlösa efterskalv. I matematik kallas detta "själv-spännande processer", och det finns ekvationer som hjälper till att förutsäga när nästa kan hända.

Bankirer tittar också på historiska uppgifter om aktiekurser, räntor och valutakurser för att uppskatta hur finansmarknader kan förändras i framtiden. Att kunna förutsäga om värdet på en aktie kommer att gå upp eller ner kan vara extremt lukrativt!

Professionella matematiker använder mycket komplexa algoritmer för att hitta och analysera alla dessa mönster, men vi kommer att börja med något mer grundläggande.

Enkla sekvenser

I matematik är en sekvens en kedja med siffror (eller andra objekt) som vanligtvis följer ett visst mönster. De enskilda elementen i en sekvens kallas termer.

Här är några exempel på sekvenser. Kan du hitta deras mönster och beräkna de nästa två termerna?

3, 6+3, 9, 12, 15, , … Mönster: "Lägg till 3 till föregående nummer för att få nästa."

4, 10, 16, 22, 28, , , … Mönster: "Lägg till 6 till föregående nummer för att få nästa."

3, 4, 7, 8, 11, , , … Mönster: "Lägg omväxlande 1 till och lägg till 3 till föregående nummer för att få nästa."

1, 2, 4, 8, 16, , , … Mönster: "Multiplicera föregående nummer med 2 för att få nästa."

Prickarna (...) i slutet betyder helt enkelt att sekvensen kan fortsätta för alltid. När vi refererar till sådana sekvenser i matematik, representerar vi ofta varje term med en speciell variabel:

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, …

Det lilla antalet efter x kallas ett -underlag och indikerar termens position i sekvensen. Det betyder att vi kan representera n termen i sekvensen med .

Triangel- och fyrkantiga siffror

Sekvenser i matematik behöver inte alltid vara siffror. Här är en sekvens som består av geometriska former - trianglar av ökande storlek:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

triangle-4

triangle-5

triangle-6

I varje steg lägger vi till ytterligare en rad till den föregående triangeln. Längden på dessa nya rader ökar också med en varje gång. Kan du se mönstret?

1, 3+2, 6+3, 10+4, 15+5, 21+6 +7, +8, …

Vi kan också beskriva detta mönster med en speciell formel:

xn = xn1 + n

För att få n -de triangelnumret tar vi triangelnummer och lägger till n. Om till exempel n = ${n} blir formeln x${n} = x ${n-1} + ${n}.

En formel som uttrycker xn som en funktion av tidigare termer i sekvensen kallas en rekursiv formel. Så länge du känner till i sekvensen kan du beräkna alla följande.


En annan sekvens som består av geometriska former är kvadratnumren. Varje term bildas av allt större rutor:

1

square-1

4

square-2

9

square-3

square-4

square-5

square-6

För triangelnumren hittade vi en rekursiv formel som säger nästa term i sekvensen som en funktion av dess tidigare termer. För kvadratiska siffror kan vi göra ännu bättre: en formel som berättar n: e termen direkt utan att först behöva beräkna alla tidigare:

xn =

Detta kallas en uttrycklig formel. Vi kan till exempel använda det för att beräkna att det 13: e kvadratnumret är , utan att först hitta de tidigare 12 kvadratnumren.


Låt oss sammanfatta alla definitioner som vi hittills har sett:

En sekvens är en lista över siffror, geometriska former eller andra objekt som följer ett specifikt mönster. De enskilda objekten i sekvensen kallas termer och representeras av variabler som xn.

En rekursiv formel för en sekvens säger värdet på n: e termen som en funktion av . Du måste också ange de första termerna.

En uttrycklig formel för en sekvens berättar värdet på n: e termen som en funktion av [[bara n {496 }, utan att hänvisa till andra termer i sekvensen.

Action Sequence Photography

I följande avsnitt kommer du att lära dig om många olika matematiska sekvenser, överraskande mönster och oväntade applikationer.

Låt oss dock först se på något helt annat: fotografering av åtgärdssekvens. En fotograf tar många bilder snabbt i följd och sammanfogar dem sedan till en enda bild:

Kan du se hur skidåkaren bildar en sekvens? Mönstret är inte tillägg eller multiplikation, utan en geometrisk transformation. Mellan på varandra följande steg översätts och .

Här är några fler exempel på action-sekvensfotografering för din njutning:

Archie