Ordlista

Välj ett av nyckelorden till vänster ...

Sekvenser och mönsterFigurnummer

Lästid: ~20 min

Namnet på geometriska sekvenser är ganska förvirrande eftersom de inte har något med geometri att göra. Faktum är att namnet utvecklades för hundratals år sedan, när matematiker tänkte på multiplikation och kvadratrötter på ett mycket mer geometriskt sätt.

Men det finns många andra sekvenser som är baserat på vissa geometriska former - av vilka du redan såg i introduktion. Dessa sekvenser kallas ofta figurnummer, och i det här avsnittet kommer vi att titta närmare på några av dem.

Triangelnummer

triangelnumren genereras genom att skapa trianglar med gradvis större storlek:

1

triangle-1

3

triangle-2

6

triangle-3

10

triangle-4

15

triangle-5

21

triangle-6

Du har redan sett den rekursiva formeln för triangelnummer: xn= .

Det är ingen slump att det alltid finns 10 stift vid bowling eller 15 bollar när man spelar biljard: de är båda triangeln!

Tyvärr är den rekursiva formeln inte så bra om vi vill hitta det 100: e eller det 5000: e triangelnumret utan att först beräkna alla tidigare. Men som vi gjorde med aritmetiska och geometriska sekvenser, kan vi försöka hitta en uttrycklig formel för triangelnumren.

COMING SOON: Animerat bevis för triangelnummerformeln

g

Triangelnummer verkar dyka upp överallt i matematik, och du kommer att se dem igen under hela denna kurs. Ett särskilt intressant faktum är att alla heltal kan skrivas som summan av högst tre triangelnummer:

${n}

=

+

+

Det faktum att detta fungerar för alla hela siffror bevisades först 1796 av den tyska matematikern Carl Friedrich Gauss - vid 19 års ålder!

Problem Solving

Vilken är summan av de första 100 positiva heltal? Med andra ord, vad är värdet av

1+2+3+4+5++97+98+99+100?

I stället för att manuellt lägga till allt, kan du använda triangelnumren för att hjälpa dig? Vad sägs om summan av de första 1000 positiva heltalen?

Kvadratiska och polygonala siffror

En annan sekvens som är baserad på geometriska former är kvadratnumren:

1, 4+3, 9+5, 16+7, +9, +11, +13, +15, …

Du kan beräkna siffrorna är denna sekvens genom att kvadratera hela heltalet (12, 22, 32, ...), men det visar sig att det finns ett annat mönster: skillnaderna mellan på varandra följande kvadratiska nummer är i ökande ordning!

Anledningen till detta mönster blir uppenbar om vi faktiskt ritar en fyrkant. Varje steg lägger till en rad och en kolumn. Storleken på dessa "hörn" börjar på 1 och ökar med 2 vid varje steg - och därmed bildar sekvensen med udda siffror.

Detta betyder också att det n: e kvadratnumret bara är summan av de första n udda siffrorna! Till exempel är summan av de första 6 udda siffrorna

1+3+5+7+9+11= .

1 3 5 7 9 11 13

Dessutom är varje kvadratnummer också summan av två på varandra följande triangelnummer. Till exempel ${n×n} = ${n×(n+1)/2} + ${n×(n-1)/2}. Kan du se hur vi kan dela varje kvadrat längs dess diagonal, i två trianglar?

x=

Efter triangel- och kvadratnummer kan vi fortsätta med större polygoner. De resulterande nummersekvenserna kallas polygonala nummer.

Om vi ​​till exempel använder polygoner med ${k} sidor får vi sekvensen med ${polygonName(k)} siffror.

Kan du hitta rekursiva och explicita formler för n th månghörnigt tal som har k sidor? Och märker du några andra intressanta mönster för större polygoner?

Tetraedriska och kubiska siffror

Naturligtvis behöver vi inte begränsa oss till tvådimensionella former och mönster. Vi kunde stapla sfärer för att bilda små pyramider, precis som hur du skulle stapla apelsiner i en stormarknad:

1

20

35

Matematiker kallar ofta dessa pyramider tetrahedra, och den resulterande sekvensen tetrahedralnummer.

KOMMER FRÅN: Mer om tetraedriska nummer, kubiska siffror och julens 12 dagar.