English
عربى
中文
Deutsch
Español
Hrvatski
Italiano
Português
Русский
SvenskaSekvenser och mönsterPascal's Triangle
Nedan kan du se en talpyramid som skapas med ett enkelt mönster: den börjar med en enda ”1” upptill, och varje följande cell är summan av de två cellerna direkt ovanför. Håll muspekaren över några av cellerna för att se hur de beräknas och fyll sedan i de saknade:
Detta diagram visade bara de första tolv raderna, men vi kunde fortsätta för evigt och lägga till nya rader längst ner. Lägg märke till att triangeln är
Triangeln heter Pascal triangel är en sifferpyramid där varje cell är summan av de två cellerna direkt ovanför. Den innehåller alla binomialkoefficienter, såväl som många andra nummersekvenser och mönster. Blaise Pascal (1623 - 1662) var en fransk matematiker, fysiker och filosof. Han uppfann några av de första mekaniska räknarna, liksom arbetade med projektiv geometri, sannolikhet och vakuumets fysik. Mest känt är att Pascal kommer ihåg för att ha namngivit Pascal's Triangle, en oändlig triangel med siffror med några fantastiska egenskaper.
Under 450 f.Kr. kallade den indiska matematikern Pingala (पिङ्गल) var en forntida indisk poet och matematiker som levde omkring 300 f.Kr., men mycket lite är känt om hans liv. Han skrev Chandaḥśāstra, där han analyserade sanskrit poesi matematiskt. Den innehöll också de första kända förklaringarna om binära siffror, Fibonacci-nummer och Pascal triangel.
I Iran var den känd som 'Khayyam-triangeln' (مثلث خیام), uppkallad efter den persiska poeten och matematikern Omar Khayyam (عمر خیّام, 1048 - 1131) var en persisk matematiker, astronom och poet. Han lyckades klassificera och lösa alla kubiska ekvationer och fann nya sätt att förstå Euclids parallella axiom. Khayyam designade också Jalali-kalendern, en exakt solkalender som fortfarande används i vissa länder.
I Kina upptäckte matematikern Jia Xian också triangeln. Den fick sitt namn efter hans efterträdare, "Yang Huis triangel" (杨辉 三角).
Pascal triangel kan skapas med ett mycket enkelt mönster, men den är fylld med överraskande mönster och egenskaper. Det är därför det har fascinerat matematiker över hela världen i hundratals år.
Hitta sekvenser
I de föregående avsnitten såg du otaliga olika matematiska sekvenser. Det visar sig att många av dem också finns i Pascals triangel:
Siffrorna i den första diagonalen på vardera sidan är alla
Siffrorna i den andra diagonalen på vardera sidan är
Siffrorna i den tredje diagonalen på vardera sidan är
Siffrorna i den fjärde diagonalen är de
Om du lägger till alla siffror i rad bildar deras summor en annan sekvens:
I varje rad som har ett primtal i sin andra cell är alla följande siffror
Diagrammet ovan belyser de "grunda" diagonalerna i olika färger. Om vi lägger till siffrorna i varje diagonal får vi
Naturligtvis har vart och ett av dessa mönster ett matematiskt skäl som förklarar varför det visas. Kanske kan du hitta några av dem!
En annan fråga du kan ställa är hur ofta ett nummer visas i Pascals triangel. Det finns uppenbarligen oändligt många 1, en 2, och alla andra nummer visas
Vissa siffror i mitten av triangeln visas också tre eller fyra gånger. Det finns till och med några som visas sex gånger: du kan se både
Eftersom 3003 är ett triangelnummer visas det faktiskt ytterligare två gånger i triangeln tredje i triangeln - vilket gör åtta händelser totalt.
Det är okänt om det finns några andra nummer som visas åtta gånger i triangeln, eller om det finns nummer som visas mer än åtta gånger. Den amerikanska matematikern David Singmaster (född 1939) är en amerikansk matematiker som är särskilt känd för sina matematiska pussel och hjärnteatrar. Han var den första som kom med matematiska algoritmer för att analysera och lösa Rubik's Cube.
Delbarhet
Vissa mönster i Pascal triangel är inte lika lätt att upptäcka. I diagrammet nedan markerar du alla celler som är jämna:
Det ser ut som att jämnt tal i Pascals triangel bildar en annan, mindre
Att färga varje cell manuellt tar lång tid, men här kan du se vad som händer om du skulle göra detta i många fler rader. Och vad med celler som kan delas med andra nummer?
Wow! De färgade cellerna visas alltid i
Om vi fortsätter med mönstret av celler som kan delas med 2, får vi ett som är mycket likt Sierpinski triangeln till höger. Formar som denna, som består av ett enkelt mönster som verkar fortsätta för alltid medan det blir mindre och mindre, kallas En fraktal är en geometrisk form som har en fraktionell dimension. Många kända fraktaler är självliknande, vilket innebär att de består av mindre kopior av sig själva. Fraktaler innehåller mönster på varje förstoringsnivå, och de kan skapas genom att upprepa en procedur eller iterera en ekvation oändligt många gånger.
The Sierpinski Triangle
Binomialkoefficienter
Det finns en viktigare egenskap i Pascal triangel som vi behöver prata om. För att förstå det kommer vi att försöka lösa samma problem med två helt olika metoder och sedan se hur de är relaterade.
KOMMER GODT