Sekvenser och mönsterPascal's Triangle

Nedan kan du se en talpyramid som skapas med ett enkelt mönster: den börjar med en enda ”1” upptill, och varje följande cell är summan av de två cellerna direkt ovanför. Håll muspekaren över några av cellerna för att se hur de beräknas och fyll sedan i de saknade:

Detta diagram visade bara de första tolv raderna, men vi kunde fortsätta för evigt och lägga till nya rader längst ner. Lägg märke till att triangeln är symmetriskright-angledequilateral, vilket kan hjälpa dig att beräkna några av cellerna.

Triangeln heter Pascal triangel, uppkallad efter den franska matematikern Blaise Pascal. Han var en av de första europeiska matematikerna som undersökte dess mönster och egenskaper, men den var känd för andra civilisationer många århundraden tidigare:

Pascal triangel kan skapas med ett mycket enkelt mönster, men den är fylld med överraskande mönster och egenskaper. Det är därför det har fascinerat matematiker över hela världen i hundratals år.

Fortsätt

Hitta sekvenser

I de föregående avsnitten såg du otaliga olika matematiska sekvenser. Det visar sig att många av dem också finns i Pascals triangel:

Naturligtvis har vart och ett av dessa mönster ett matematiskt skäl som förklarar varför det visas. Kanske kan du hitta några av dem!

En annan fråga du kan ställa är hur ofta ett nummer visas i Pascals triangel. Det finns uppenbarligen oändligt många 1, en 2, och alla andra nummer visas minst två gångerat least onceexactly twice, i den andra diagonalen på båda sidor.

Vissa siffror i mitten av triangeln visas också tre eller fyra gånger. Det finns till och med några som visas sex gånger: du kan se både 120 och 3003 fyra gånger i triangeln ovan, och de kommer att visas ytterligare två gånger vardera i raderna 120 och 3003 .

Eftersom 3003 är ett triangelnummer visas det faktiskt ytterligare två gånger i triangeln tredje i triangeln - vilket gör åtta händelser totalt.

Det är okänt om det finns några andra nummer som visas åtta gånger i triangeln, eller om det finns nummer som visas mer än åtta gånger. Den amerikanska matematikern David Singmaster antog att det finns en fast limed på hur ofta siffror kan uppträda i Pascals triangel - men det har ännu inte bevisats.

Delbarhet

Vissa mönster i Pascal triangel är inte lika lätt att upptäcka. I diagrammet nedan markerar du alla celler som är jämna:

Det ser ut som att jämnt tal i Pascals triangel bildar en annan, mindre triangelmatrixsquare.

Att färga varje cell manuellt tar lång tid, men här kan du se vad som händer om du skulle göra detta i många fler rader. Och vad med celler som kan delas med andra nummer?

Binomialkoefficienter

Det finns en viktigare egenskap i Pascal triangel som vi behöver prata om. För att förstå det kommer vi att försöka lösa samma problem med två helt olika metoder och sedan se hur de är relaterade.

KOMMER GODT