Ordlista

Välj ett av nyckelorden till vänster ...

Cirklar och PiIntroduktion

Lästid: ~35 min
Denna sida har automatiskt översatts och kan innehålla fel. Vänligen kontakta dig om du vill hjälpa oss att granska översättningar!

Så länge människor har funnits har vi tittat på himlen och försökt förklara livet på jorden med hjälp av stjärnor, planeter och månen.

Forntida grekiska astronomer var de första som upptäckte att alla himmelobjekt rör sig på vanliga vägar, kallade banor . De trodde att dessa bana alltid är cirkulära. När allt kommer omkring är cirklar den "mest perfekta" av alla former: symmetrisk i alla riktningar, och därmed ett passande val för vårt universums underliggande ordning.

Jorden är i mitten av det Ptolemaiska universum .

Varje punkt på en cirkel har samma avstånd från centrum. Detta innebär att de kan ritas med en kompass :

Det finns tre viktiga mätningar relaterade till cirklar som du behöver veta:

  • De radie är avståndet från mitten av en cirkel till dess ytterkant.
  • De diameter är avståndet mellan två motsatta punkter på en cirkel. Den går igenom dess centrum, och dess längd är radien.
  • De omkrets (eller omkrets) är avståndet runt en cirkel.

En viktig egenskap hos cirklar är att alla cirklar är lika . Du kan bevisa att genom att visa hur alla cirklar kan matchas med helt enkelt översättningar och utvidgningar :

Du kanske kommer ihåg att för liknande polygoner är förhållandet mellan motsvarande sidor alltid konstant. Något liknande fungerar för cirklar: förhållandet mellan periferin och diametern är lika för alla cirklar . Det är alltid 3.14159 ... - ett mystiskt nummer som heter Pi , som ofta skrivs som den grekiska bokstaven π för “p”. Pi har oändligt många decimalsiffror som pågår för alltid utan något specifikt mönster:

Här är ett hjul med diameter 1. När du "rullar upp" omkretsen kan du se att dess längd är exakt :

01234π

För en cirkel med diameter d är omkretsen C=π×d . På samma sätt är omkretsen för en cirkel med radie r

C= .

Cirklar är perfekt symmetriska, och de har inga "svaga punkter" som hörnen på en polygon. Detta är en av orsakerna till att de finns överallt i naturen:

Blommor

Planets

träd

Frukt

Såpbubblor

Och det finns så många andra exempel: från regnbågar till vattenkrusningar. Kan du tänka på något annat?

Det visar sig också att en cirkel är formen med det största området för en given omkrets. Om du till exempel har ett rep på längden 100  m kan du använda det för att omsluta det största utrymmet om du bildar en cirkel (snarare än andra former som en rektangel eller triangel).

I naturen kan föremål som vattendroppar eller luftbubblor spara energi genom att bli cirkulära eller sfäriska och minska ytytan.

Triangle
Square
Pentagon
Circle

Omkrets = 100 , Area = ${area}

Området för en cirkel

Men hur beräknar vi faktiskt en cirkelyta? Låt oss försöka samma teknik som vi använde för att hitta området med fyrkantiga sidor : vi skär formen i flera olika delar och ordnar sedan dem till en annan form som vi redan känner till området (t.ex. en rektangel eller en triangel).

Den enda skillnaden är att eftersom cirklar är böjda, måste vi använda några tillnärmningar:

rπr

Här kan du se en cirkel uppdelad i ${toWord(n1)} kilar. Flytta skjutreglaget för att ställa in kilen i en rad.

Om vi ökar antalet kil till ${n1} , denna form börjar se mer och mer ut som en .

Rektangelns höjd är lika med cirkelns . Rektangelns bredd är lika med cirkelns . (Lägg märke till hur hälften av kilarna vänder nedåt och hälften av dem vänder uppåt.)

Därför är rektangelns totala area ungefär A=πr2 .

r2πr

Här kan du se en cirkel uppdelad i ${toWord(n)} ringar. Liksom tidigare kan du flytta skjutreglaget till "otydliga" ringarna.

Om vi ökar antalet ringar till ${n2} , denna form börjar se mer och mer ut som en .

Triangelns höjd är lika med cirkelns Triangelns bas är lika med cirkelns . Därför är triangelns totala area ungefär

A=12base×height=πr2 .

Om vi skulle kunna använda oändligt många ringar eller kilar skulle tillnärmningarna ovan vara perfekta - och de båda ger oss samma formel för området med en cirkel:

A=πr2 .

Beräknar Pi

Som du såg ovan, π=3.1415926 är inte ett enkelt heltal och dess decimalsiffror fortsätter för evigt, utan att upprepa ett mönster. Nummer med den här egenskapen kallas irrationella nummer , och det betyder det π kan inte uttryckas som en enkel bråk ab .

Det betyder också att vi aldrig kan skriva ner alla siffrorna i Pi - det finns ju oändligt många. Antika grekiska och kinesiska matematiker beräknade de första fyra decimalsiffrorna av Pi genom att ungefärliga cirklar med vanliga polygoner. Lägg märke till hur, när du lägger till fler sidor, polygonen börjar se som en cirkel:

1665 lyckades Isaac Newton beräkna 15 siffror. Idag kan vi använda kraftfulla datorer för att beräkna värdet på Pi till mycket högre noggrannhet.

Den nuvarande posten är 31,4 biljoner siffror. En tryckt bok som innehåller alla dessa siffror skulle vara ungefär 400  km tjock - det är den höjd som den internationella rymdstationen kretsar runt jorden!

Naturligtvis behöver du inte komma ihåg att många siffror av Pi. I själva verket bråk 227=3.142 är en bra tillnärmning.

En metod för att beräkna Pi är att använda oändliga antal sekvenser. Här är ett exempel som upptäcktes av Gottfried Wilhelm Leibniz 1676:

π=4143+4547+494+

När vi beräknar fler och fler termer i denna serie, alltid efter samma mönster, kommer resultatet att komma närmare och närmare Pi.

Många matematiker tror att Pi har en ännu mer nyfiken egenskap: att det är ett normalt antal . Detta betyder att siffrorna från 0 till 9 verkar helt slumpmässigt, som om naturen hade rullat en 10-sidig tärning oändligt många gånger för att bestämma värdet på Pi.

Här kan du se de första 100 siffrorna på Pi. Flytta över några av cellerna för att se hur siffrorna är fördelade.

3
.
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
8
9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
3
3
8
3
2
7
9
5
0
2
8
8
4
1
9
7
1
6
9
3
9
9
3
7
5
1
0
5
8
2
0
9
7
4
9
4
4
5
9
2
3
0
7
8
1
6
4
0
6
2
8
6
2
0
8
9
9
8
6
2
8
0
3
4
8
2
5
3
4
2
1
1
7
0
6
7
9

Om Pi är normalt betyder det att du kan tänka på vilken siffra som helst och att den kommer att visas någonstans i siffrorna. Här kan du söka efter de första en miljon siffrorna i Pi - innehåller de din födelsedag?

En miljon siffror av Pi

Search for a string of digits:
3.

Vi kunde till och med konvertera en hel bok, som Harry Potter, till en mycket lång rad siffror (a = 01, b = 02, och så vidare). Om Pi är normalt visas den här strängen någonstans i siffrorna - men det tar miljoner år att beräkna tillräckligt med siffror för att hitta den.

Pi är lätt att förstå, men av grundläggande betydelse i vetenskap och matematik. Det kan vara en anledning till att Pi har blivit ovanligt populärt i vår kultur (åtminstone jämfört med andra ämnen i matematik):

Pi is the secret combination for the tablet in “Night at the Museum 2”.

Professor Frink (“Simpsons”) silences a room of scientists by saying that Pi equals 3.

Spock (“Star Trek”) disables an evil computer by asking it to calculate the last digit of Pi.

Det finns till och med en Pi-dag varje år, som antingen faller den 14 mars, för π3.14 , eller den 22 juli, för π227 .