Polygoner och polyhedraquadrilaterals

I den föregående kursen undersökte vi många olika egenskaper hos trianglar. Låt oss nu titta på fyrhjulingar.

En vanlig fyrkantig kallas en . Alla sidor har samma längd och alla vinklar är lika.

En kvadrat är en fyrkant med fyra lika sidor och fyra lika vinklar .

För lite "mindre regelbundna" fyrhjulingar har vi två alternativ. Om vi bara vill att vinklarna ska vara lika får vi en rektangel . Om vi bara vill att sidorna ska vara lika, får vi en romb .

En rektangel är en fyrkant med fyra lika vinklar .

En Rhombus är en fyrkant med fyra lika sidor .

Det finns några andra fyrhjulingar som är ännu mindre regelbundna men som fortfarande har vissa viktiga egenskaper:

Om båda par av motsatta sidor är parallella får vi ett Parallelogram .

Om två par intilliggande sidor har samma längd får vi en drake .

Om minst ett par motstående sidor är parallella får vi ett Trapezium .

Fyrhjulingar kan falla in i flera av dessa kategorier. Vi kan visualisera hierarkin för olika typer av fyrkantiga sidor som ett Venn-diagram :

Till exempel är varje rektangel också ett , och varje är också en drake. En romb är en fyrkant och en rektangel är ett trapez.

För att undvika tvetydighet använder vi vanligtvis bara den mest specifika typen.

Välj nu fyra punkter, var som helst i den grå rutan till vänster. Vi kan ansluta dem alla till en fyrkant.

Låt oss hitta mittpunkten för var och en av de fyra sidorna. Om vi ansluter mittpunkterna, får vi en .

Försök att flytta vertikalerna på den yttre fyrkantiga och observera vad som händer med den mindre. Det ser ut som om det inte bara är någon fyrkantig, utan alltid ett !

Men varför är det så? Varför ska resultatet för någon fyrhjuling alltid hamna som ett parallellogram? För att hjälpa oss förklara måste vi rita en av diagonalerna i det ursprungliga fyrkantiga.

Diagonalen delar upp fyrkant i två trianglar . Och nu kan du se att två av sidorna på det inre fyrkantiga är av dessa trianglar.

I den föregående kursen visade vi att mellansegment i en triangel alltid är parallella med dess bas. I detta fall betyder det att båda dessa sidor är parallella med diagonalen - därför måste de också vara .

Vi kan göra exakt samma sak med fyrkantens andra diagonal för att visa att båda par av motsatta sidor är parallella. Och det är allt vi behöver för att bevisa att det inre fyrsidiga är ett parallellogram .

parallellogram

Det visar sig att parallellogram har många andra intressanta egenskaper, andra än att motsatta sidor är parallella. Vilka av följande sex uttalanden är sanna?

The opposite sides are congruent.

The internal angles are always less than 90°.

The diagonals bisect the internal angles.

The opposite angles are congruent.

Both diagonals are congruent.

Adjacent sides have the same length

The two diagonals bisect each other in the middle.

Naturligtvis är det helt enkelt inte att "observera" dessa egenskaper. För att vara säker på att de alltid är sanna måste vi bevisa dem:

Motsatta sidor och vinklar

Låt oss försöka bevisa att motsatta sidor och vinklar i ett parallellogram alltid överensstämmer.

Börja med att rita en av parallellogrammets diagonaler.

Diagonalen skapar fyra nya vinklar med sidorna på parallellogrammet. De två röda vinklarna och de två blåa vinklarna är alternerande vinklar , så de måste var och en vara .

Om vi nu tittar på de två trianglarna som skapats av diagonalen ser vi att de har två kongruenta vinklar och en kongruent sida . Av kongruensvillkor, båda trianglarna måste vara kongruenta.

Detta innebär att de andra motsvarande delarna av trianglarna också måste vara kongruenta: i synnerhet är båda par av motsatta sidor kongruenta, och båda par av motsatta vinklar är kongruenta.

Det visar sig att det konverserade också är sant: om båda par av motsatta sidor (eller vinklar) i en fyrkantig är kongruenta, måste fyrkantiga sidor vara ett parallellogram.

diagonaler

Bevis nu att de två diagonalerna i ett parallellogram halverar varandra.

Låt oss tänka på de två gula trianglarna som genereras av diagonalerna:

Vi har precis bevisat att de två gröna sidorna är kongruenta, eftersom de är motsatta sidor av ett parallellogram. * De två röda vinklarna och de två blåa vinklarna är kongruenta, eftersom de är .

Av tillstånd, båda de gula trianglarna måste därför också vara kongruenta.

Nu kan vi använda det faktum att motsvarande delar av kongruenta trianglar också är kongruenta för att dra slutsatsen AM‾ = CM‾ och BM‾ = DM‾ . Med andra ord korsar de två diagonalerna i mittpunkten.

Liksom tidigare är motsatsen också sant: om de två diagonalerna i en fyrkantig halverar varandra, så är fyrsidans ett parallellogram.

drakar

Vi visade ovan att de två paren sidor av ett parallellogram är kongruenta. I en drake är två par intilliggande sidor kongruenta.

Namnet Kite kommer helt klart från sin form: det ser ut som drakarna du kan flyga på himlen. Emellertid, av alla de speciella fyrhjulingar som vi hittills har sett, är draken den enda som också kan vara konkav : om den är formad som en pil eller pil:

En konvex drake

En konkav drake som ser ut som en pil

Du kanske har märkt att alla drakar är . Symmetriaxeln är .

Diagonalen delar draken i två kongruenta trianglar . Vi vet att de är kongruenta från SSS- tillståndet: båda trianglarna har tre kongruenta sidor (röd, grön och blå).

Med hjälp av CPOCT vet vi därför att motsvarande vinklar också måste vara kongruenta.

Detta betyder till exempel att diagonalen är en för de två vinklarna i dess ändar.

Vi kan gå ännu längre: om vi ritar den andra diagonalen, får vi två, mindre trianglar till . Dessa måste också vara kongruenta på grund av SAS- villkoret: de har samma två sidor och inkluderad vinkel .

Detta betyder att vinkeln a också måste vara densamma som vinkeln ß . Eftersom de ligger intill, måste kompletterande vinklar både a och ß vara °.

Med andra ord är en drakes diagonaler alltid .

Område med fyrkantiga områden

När vi beräknade arean för trianglar i den föregående kursen, använde vi tricket för att konvertera det till en . Det visar sig att vi också kan göra det för vissa fyrhjulingar:

Parallellogram

Till vänster, försök att rita en rektangel som har samma område som parallellogrammet.

Kan du se att den saknade triangeln till vänster är den överlappande triangeln till höger? Därför är området för ett parallellogram

Area = bas × höjd

Var noga när du mäter höjden på ett parallellogram: det är vanligtvis inte detsamma som en av de två sidorna.

Trapets

Kom ihåg att trapezier är fyrkantiga sidor med ett par parallella sidor . Dessa parallella sidor kallas trapesens baser .

Liksom tidigare, försök att rita en rektangel som har samma område som detta trapez. Kan du se hur de saknade och tillagda trianglarna på vänster och höger avbryter?

De höjden på denna rektangel är de parallella sidorna av trapeziet.

De rektangelns bredd är avståndet mellan för de två icke-parallella sidorna av trapeset. Detta kallas midsegmentet av trapes.

Liksom med trianglar , är midsegmentet av ett trapez dess två baser. Midsegmentets längd är medelvärdet av basernas längder: a+c2 .

Om vi kombinerar allt detta får vi en ekvation för området för ett trapez med parallella sidor a och c och höjd h :

A=h×a+c2

Drake

I denna drake bildar de två diagonalerna bredden och höjden på en stor rektangel som omger draken.

Området för denna rektangel är drakens yta. Kan du se hur var och en av de fyra trianglarna som utgör draken är desamma som de fyra luckorna utanför den?

Detta innebär att området med en drake med diagonaler d1 och d2 är

Area = 12 d1 × d2 .

Romb

En romb är en fyrkant som har fyra sammanhängande sidor. Du kanske kommer ihåg att varje romb är ett - och även en .

Detta betyder att vi kan använda antingen ekvationen för området för ett parallellogram, eller det för en drake:

Area = bas × höjd = 12 d1 × d2 .

I olika sammanhang kan du få olika delar av en romb (sidor, höjd, diagonaler), och du bör välja vilken ekvation som är mer bekväm.

Ändra språk

Logga in på Mathigon

Dela med sig

Återställ framsteg

Ordlista