Ordlista

Välj ett av nyckelorden till vänster ...

Polygoner och polyhedraPlatoniska fasta partiklar

Lästid: ~35 min
Denna sida har automatiskt översatts och kan innehålla fel. Vänligen kontakta dig om du vill hjälpa oss att granska översättningar!

I början av denna kurs definierade vi vanliga polygoner som särskilt ”symmetriska” polygoner, där alla sidor och vinklar är desamma. Vi kan göra något liknande för polyeder.

I en vanlig polyhedron är alla ansikten alla samma typ av vanlig polygon, och samma antal ansikten möts vid varje toppunkt . Polyhedra med dessa två egenskaper kallas platoniska fasta ämnen , uppkallad efter den grekiska filosofen Platon .

Så hur ser de platoniska fasta ämnena ut - och hur många av dem finns det? För att göra en tredimensionell form, vi behöver minst ansikten för att möta vid varje vertex. Låt oss börja systematiskt med den minsta regelbundna polygonen: liksidiga trianglar:

Om vi skapar en polyhedron där tre liksidiga trianglar möts i varje topp, får vi formen till vänster. Det kallas en Tetrahedron och har ansikten. ("Tetra" betyder "fyra" på grekiska).

Om fyra liksidiga trianglar möts vid varje toppunkt, får vi ett annat platoniskt fast material. Det kallas Octahedron och har ansikten. ("Octa" betyder "åtta" på grekiska. Precis som "Octagon" betyder 8-sidig form, "Octahedron" betyder 8-fasad solid.)

Om trianglar möts i varje topp, får vi Icosahedron . Den har ansikten. ("Icosa" betyder "tjugo" på grekiska.)

Om trianglar möts vid varje toppunkt, händer något annat: vi får helt enkelt , istället för en tredimensionell polyeder.

Och sju eller flera trianglar i varje topp ger inte heller ny polyeder: det finns inte tillräckligt med utrymme runt en topp, för att passa så många trianglar.

Det betyder att vi har hittat platoniska fasta partiklar bestående av trianglar. Låt oss gå vidare till nästa vanliga polygon: rutor.

Om fyrkanter möts vid varje topp, får vi kuben . Precis som tärningar har den ansikten. Kuben kallas ibland också _Hexahedron , efter det grekiska ordet "hexa" för "sex"._

Om rutor möts vid varje toppunkt får vi en . Och som tidigare fungerar inte heller fem eller fler rutor.

Låt oss sedan prova vanliga pentagoner:

Om pentagoner möts vid varje toppunkt, får vi Dodecahedron . Den har ansikten. ("Dodeca" betyder "tolv" på grekiska.)

Som tidigare fyra eller flera femtoner eftersom det inte finns tillräckligt med utrymme.

Nästa regelbundna polygon att prova är hexagoner:

Om tre sexhörningar möts vid varje toppunkt får vi omedelbart en . Eftersom det inte finns plats för mer än tre verkar det som om det inte finns några platoniska fasta partiklar som består av sexhörningar.

Detsamma gäller också för alla vanliga polygoner med mer än sex sidor. De tessellaterar inte, och vi får verkligen inga tredimensionella polygoner.

Detta innebär att det bara finns platoniska fasta ämnen! Låt oss titta på dem alla tillsammans:

Tetrahedron

ansikten
vertikaler
kanter

Kub

ansikten
vertikaler
kanter

Oktaeder

ansikten
vertikaler
kanter

Dodecahedron

ansikten
20 vertikaler
30 kanter

icosahedron

ansikten
12 vertikaler
30 kanter

Lägg märke till hur antalet ansikten och vertikaler för kub och oktaeder , liksom dodekedron och icosahedron , medan antalet kanter . Dessa par platoniska fasta material kallas dubbla fasta ämnen .

Vi kan förvandla en polyhedron till dess dubbla genom att "ersätta" varje ansikte med en topp och alla toppar med ett ansikte. Dessa animationer visar hur:

Tetraederen är dubbel med sig själv. Eftersom det har samma antal ansikten och toppar, byter du inte det skulle inte förändra någonting.

Platon trodde att all materia i universum består av fyra element: luft, jord, vatten och eld. Han trodde att varje element motsvarar ett av de platoniska fasta ämnena, medan det femte skulle representera universum som helhet. Idag vet vi att det finns mer än 100 olika element som består av sfäriska atomer, inte polyeder.

Images from Johannes Kepler’s book “Harmonices Mundi” (1619)

Arkimediska fasta partiklar

Platoniska fasta ämnen är särskilt viktiga polyeder, men det finns otaliga andra.

Arkimediska fasta ämnen , till exempel, måste fortfarande bestå av vanliga polygoner , men du kan använda flera olika typer. De har fått sitt namn efter en annan grekisk matematiker, Archimedes of Syracuse , och det finns 13 av dem:

Trunkerad tetrahedron
8 ansikten, 12 toppar, 18 kanter

kuboktaeder
14 ansikten, 12 toppar, 24 kanter

Trunkerad kub
14 ansikten, 24 vertikaler, 36 kanter

Trunkerad Octahedron
14 ansikten, 24 vertikaler, 36 kanter

rhombicuboctahedron
26 ansikten, 24 vertikaler, 48 kanter

Trunkerad Cuboctahedron
26 ansikten, 48 toppar, 72 kanter

Snub kub
38 ansikten, 24 vertikaler, 60 kanter

Icosidodecahedron
32 ansikten, 30 vertikaler, 60 kanter

Trunkerad Dodekahedron
32 ansikten, 60 toppar, 90 kanter

Trunkerad Icosahedron
32 ansikten, 60 toppar, 90 kanter

Rhombicosidodecahedron
62 ansikten, 60 vertikaler, 120 kanter

Trunkerad Icosidodecahedron
62 ansikten, 120 toppar, 180 kanter

Snub Dodecahedron
92 ansikten, 60 vertikaler, 150 kanter

tillämpningar

Platon hade fel i att tro att alla element består av platoniska fasta ämnen. Men vanliga polyedrar har många speciella egenskaper som får dem att visas på andra håll i naturen - och vi kan kopiera dessa egenskaper inom vetenskap och teknik.

Radiolaria skeleton

Icosahedral virus

Många virus , bakterier och andra små organismer är formade som icosahedra . Virus måste till exempel omsluta sitt genetiska material inuti ett skal med många identiska proteinenheter. Ikosahedronen är det mest effektiva sättet att göra detta eftersom den består av några få regelbundna element men nästan är formad som en sfär.

Buckyball molecule

Montreal Biosphere

Många molekyler är formade som vanliga polyedra. Det mest kända exemplet är C60 som består av 60 kolatomer anordnade i form av en trunkerad Icosahedron .

Det upptäcktes 1985 när forskare forskade på interstellärt damm. De kallade det "Buckyball" (eller Buckminsterfullerene) efter arkitekten Buckminster Fuller , känd för att bygga byggnader med liknande utseende.

Fluorite octahedron

Pyrite cube

De flesta kristaller har sina atomer anordnade i ett vanligt rutnät bestående av tetraedra , kuber eller oktaedra . När de spricker eller spricker kan du se dessa former i större skala.

Octagonal space frames

Louvre museum in Paris

Tetrahedra och oktaedra är otroligt styva och stabila, vilket gör dem mycket användbara i konstruktionen . Rymdramar är polygonala strukturer som kan stödja stora tak och tunga broar.

Football

Polygonal role-playing dice

Platoniska fasta ämnen används också för att skapa tärningar . på grund av deras symmetri har varje sida sannolikheten för att landa uppåt - så tärningarna är rättvisa.

Den trunkerade Icosahedron är förmodligen den mest berömda polyhedronen i världen: det är formen på fotboll.