Polygoner och polyhedraTessellations

Polygoner förekommer överallt i naturen. De är särskilt användbara om du vill kakla in ett stort område, eftersom du kan passa polygoner utan några luckor eller överlappningar. Mönster som det kallas tessellationer .

honungskaka

Sinaloan Milk Snake skin

Cellstruktur av blad

Basaltkolonner på Giant's Causeway i Nordirland

Ananashud

Sköldpadda

Människor har kopierat många av dessa naturliga mönster inom konst, arkitektur och teknik - från antika Rom till nutid. Här är några exempel:

trottoarmönster

Växthus vid Eden-projektet i England

Mosaik i Alhambra

tak på British Museum i London

Cellulär tessellationspaviljong i Sydney

Studie av Regular Division of the Plane with Reptiles , MC Escher

Här kan du skapa dina egna tessellationer med vanliga polygoner. Dra helt enkelt nya former från sidofältet till duken. Vilka former stämmer väl? Finns det några former som inte tessellaterar alls? Försök skapa intressanta mönster!

Examples of other students’ tessellations

Tessellationer från vanliga polygoner

Du kanske har märkt att några vanliga polygoner (som ) tessellera mycket lätt, medan andra (som ) verkar inte tessellera alls.

Detta har att göra med storleken på deras inre vinklar , som vi lärde oss att beräkna tidigare. Vid varje topp i tessellationen möts de inre vinklarna hos flera olika polygoner. Vi behöver alla dessa vinklar för att lägga till °, annars blir det antingen ett gap eller en överlappning.

Trianglar eftersom 6 × 60° = 360°.

Kvadrater eftersom 4 × 90° = 360°.

Pentagoner eftersom multiplar på 108° inte lägger till 360°.

Sexhörningar eftersom 3 × 120° = 360°.

Du kan på liknande sätt kontrollera att, precis som pentagoner, alla vanliga polygoner med sju eller fler sidor inte tessellaterar. Detta innebär att de enda vanliga polygonerna som tessellaterar är trianglar, rutor och hexagoner!

Naturligtvis kan man kombinera olika typer av vanliga polygoner i en tessellation, förutsatt att deras inre vinklar kan lägga till 360°:

Squares and triangles
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°

Hexagons and triangles
120° + 120° + 60° + 60° = 360°

Hexagons and triangles
120° + 60° + 60° + 60° + 60° = 360°

Hexagons, squares and triangles
120° + 90° + 90° + 60° = 360°

Octagons and squares
135° + 135° + 90° = 360°

Dodecagons (12-gons) and triangles
150° + 150° + 60° = 360°

Dodecagons, hexagons and squares
150° + 120° + 90° = 360°

Tessellationer från oregelbundna polygoner

Vi kan också prova att göra tessellationer av oregelbundna polygoner - så länge vi är försiktiga när vi roterar och ordnar dem.

Det visar sig att du kan tessellera inte bara liksidiga trianglar, utan vilken triangel som helst ! Försök att flytta topparna i detta diagram.

Summan av de inre vinklarna i en triangel är °. Om vi använder varje vinkel vid varje toppunkt i tessellationen får vi 360°:

Mer överraskande, alla fyrkantiga tessellater också! Deras inre vinkelsumma är °, så om vi använder varje vinkel en vid varje toppunkt i tessellationen får vi 360°.

Pentagoner är lite svårare. Vi såg redan att vanliga pentagoner , men hur är det med icke-regelbundna?

Här är tre olika exempel på tessellationer med pentagoner. De är inte vanliga , men de är giltiga 5-sidiga polygoner.

Hittills har matematiker bara hittat 15 olika typer av tessellationer med (konvexa) pentagoner - den senaste upptäcktes 2015. Ingen vet om det finns några andra, eller om dessa 15 är de enda ...

Tessellationer i art

Tessellations vi både ett verktyg och inspiration för många konstnärer, arkitekter och designer - mest känd den holländska konstnären MC Escher . Eschers verk innehåller konstiga, muterande varelser, mönster och landskap:

“Sky and Water I” (1938)

“Lizard” (1942)

“Lizard, Fish, Bat” (1952)

“Butterfly” (1948)

“Two Fish” (1942)

“Shells and Starfish” (1941)

Dessa konstverk ser ofta roliga och enkla ut, men de underliggande matematiska principerna är desamma som tidigare: vinklar, rotationer, översättningar och polygoner. Om matematiken inte är rätt kommer tessellationen inte att fungera!

“Metamorphosis II” by M. C. Escher (1940)

Penrose brickor

Alla tessellationer vi såg hittills har en sak gemensamt: de är periodiska . Det betyder att de består av ett regelbundet mönster som upprepas om och om igen. De kan fortsätta för evigt i alla riktningar och de kommer att se lika ut överallt.

På 1970-talet upptäckte den brittiska matematikern och fysikern Roger Penrose icke-periodiska tessellationer - de fortsätter oändligt i alla riktningar, men ser aldrig exakt lika ut. Dessa kallas Penrose-plattor , och du behöver bara några olika typer av polygoner för att skapa en:

Move the slider to reveal the underlying structure of this tessellation. Notice how you have the same patterns at various scales: the small yellow pentagons, blue stars, orange rhombi and green ‘ships’ appear in their original size, in a slightly larger size and an even larger size. This self-similarity can be used to prove that this Penrose tiling is non-periodic.

Penrose utforskade tessellationerna bara för skojs skull, men det visar sig att den inre strukturen i vissa verkliga material (som aluminium) följer ett liknande mönster. Mönstret användes till och med på toalettpapper, eftersom tillverkarna märkte att ett icke-periodiskt mönster kan rullas upp utan utbuktningar.

Ändra språk

Logga in på Mathigon

Dela med sig

Återställ framsteg