Polygoner och polyhedrapolygoner

En polygon är en sluten, platt form som endast har raka sidor. Polygoner kan ha valfritt antal sidor och vinklar, men sidorna kan inte vara böjda. Vilka av formerna nedan är polygoner?

Vi ger polygoner olika namn, beroende på hur många sidor de har:

Triangle
3 sides

Quadrilateral
4 sides

Pentagon
5 sides

Hexagon
6 sides

Heptagon
7 sides

Octagon
8 sides

Vinklar i polygoner

Varje polygon med n- sidor har också n inre vinklar . Vi vet redan att summan av de inre vinklarna i en triangel alltid är ° men hur är det med andra polygoner?

${a1[0]}° + ${a1[1]}° + ${a1[2]}° + ${360-a1[0]-a1[1]-a1[2]}° =

${a2[0]}° + ${a2[1]}° + ${a2[2]}° + ${a2[3]}° + ${540-a2[0]-a2[1]-a2[2]-a2[3]}° =

Det ser ut som att summan av inre vinklar i en fyrkant är alltid ° - exakt summan av vinklar i en triangel. Detta är ingen slump: varje fyrkant kan delas upp i två trianglar.

Detsamma fungerar också för större polygoner. Vi kan dela upp en femkant i trianglar, så dess inre vinkelsumma är 3×180°= °. Och vi kan dela upp en hexagon i trianglar, så dess inre vinkelsumma är 4×180°= °.

En polygon med ${x} sidorna har en inre vinkelsumma på 180° × ${x-2} = ${(x-2)*180}°. Mer generellt kan en polygon med n- sidor delas upp i trianglar. Därför,

Summan av inre vinklar i en n -gon =n−2×180° .

Konvexa och konkava polygoner

Vi säger att en polygon är konkav om den har ett avsnitt som "pekar inåt". Du kan föreställa dig att den här delen har "blivit in" . Polygoner som inte är konkava kallas konvex .

Det finns två sätt att enkelt identifiera konkava polygoner: de har minst en inre vinkel som är större än 180° . De har också minst en diagonal som ligger utanför polygonen .

I konvexa polygoner, å andra sidan, är alla inre vinklar mindre än °, och alla diagonaler ligger polygonen.

Vilka av dessa polygoner är konkava?

Vanliga polygoner

Vi säger att en polygon är regelbunden om alla sidor har samma längd och alla vinklar har samma storlek. Vilka av dessa former är vanliga polygoner?

Vanliga polygoner kan fås i många olika storlekar - men alla vanliga polygoner med samma antal sidor !

Vi vet redan summan av alla inre vinklar i polygoner. För vanliga polygoner har alla dessa vinklar , så vi kan räkna ut storleken på en enda inre vinkel:

vinkel = = 180°×x−2x=180°−360°x .

Om n=3 vi får storleken på de inre vinklarna på en liksidig triangel - vi vet redan att den måste vara °. I en vanlig polygon med ${x} sidor, varje inre vinkel är 180° - 360°${x} = ${round(180-360/x)}°.

Området med vanliga polygoner

Här kan du se en vanlig polygon med ${n} sidor. Varje sida har längd 1 m Låt oss försöka beräkna dess areal!

Först kan vi dela in polygonen i ${toWord(n)} kongruenta, trianglar.

Vi känner redan till för dessa trianglar, men vi behöver också för att kunna beräkna dess areal. I vanliga polygoner kallas denna höjd ibland apotem .

Lägg märke till att det finns en rätvinklad triangel som bildas av apotemet och halva basen på likbenets triangel. Det betyder att vi kan använda trigonometri!

De basvinklarna för likbenets triangel (låt oss kalla dem α) är stor som polygonens inre vinklar :

α=12180°−360°${n}=${round(90-180/n,2)}

För att hitta apotemet kan vi använda definitionen av :

tanα=oppositeadjacent=

⇒apothem=12s×tanα=${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}m

Nu är området med likgilt triangeln

12base×height=121m×${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}=${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

Polygonen består av ${toWord(n)} av dessa likartade trianglar, som alla har samma område. Därför är polygonens totala yta

A=${n}×${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}=${round(n×tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

Ändra språk

Logga in på Mathigon

Dela med sig

Återställ framsteg

Ordlista

Polygoner och polyhedrapolygoner

Vinklar i polygoner

Konvexa och konkava polygoner

Vanliga polygoner

Området med vanliga polygoner