Ordlista

Välj ett av nyckelorden till vänster ...

Cirklar och PiTangenter, ackord och bågar

Lästid: ~25 min
Denna sida har automatiskt översatts och kan innehålla fel. Vänligen kontakta dig om du vill hjälpa oss att granska översättningar!

I de föregående avsnitten lärde du dig namnen som givits till flera olika delar av en cirkel - som mitt, radie, diameter och omkrets. Det finns dock många geometriska element relaterade till en cirkel, som vi måste lösa mer komplexa problem:

  • EN secant är en linje som skär en cirkel vid två punkter.
  • EN ackord är ett linjesegment vars ändpunkter ligger på en cirkelns omkrets.
  • EN tangent är en linje som vidrör en cirkel på exakt en punkt. Detta kallas punkten för tangens .
  • En båge är en sektion av en cirkelns omkrets.
  • EN sektor är en del av det inre av en cirkel, avgränsat av en båge och två radier .
  • Slutligen, a segment är en del av det inre av en cirkel, avgränsat av en båge och ett ackord .

I det här avsnittet kommer vi att titta på förhållandet mellan alla dessa element och bevisa teorier om deras egenskaper. Oroa dig inte för att memorera alla definitioner för tillfället - du kan alltid använda ordlistan .

tangenter

KOMMER SNART!

Chords

KOMMER SNART!

Bågar och sektorer

De flesta forskare i antika Grekland var överens om att jorden är en sfär. Det fanns gott om bevis: från fartyg som försvann bakom horisonten vid havet, till stjärnornas cirkulära rörelse under natten.

Tyvärr visste ingen exakt hur stor jorden var - förrän omkring 200 f.Kr., när matematikern Eratosthenes hittade ett genialt sätt att mäta jordens radie med hjälp av grundläggande geometri. Allt vi behöver är lite mer kunskap om bågar och sektorer i en cirkel.

Som du kan se i diagrammet, en båge är en del av för en cirkel, och a sektor är en del av av en cirkel.

Bågen mellan två punkter A och B skrivs ofta som AB . Denna definition är något tvetydig: det finns en andra bågen som förbinder A och B men går tvärtom runt cirkeln.

Den mindre av de två bågarna kallas den mindre bågen , och den större kallas den stora bågen . Om punkterna A och B är exakt mitt emot varandra, har båda bågarna samma längd och är .

För att hitta längden på en båge eller området för en sektor måste vi veta om motsvarande vinkel i mitten av cirkeln: detta kallas central vinkel .

Lägg märke till hur bågen, sektorn och vinkeln tar upp samma andel av en hel cirkel. Till exempel om central vinkel är , det tar av hela cirkeln .

Detta innebär att längden på bågen är också 14 av hela omkretsen av cirkeln och sektoren är 14 av hela området av cirkeln.

Vi kan uttrycka detta förhållande i en ekvation:

arc lengthcircumference=circle area=central angle

Nu kan vi ordna om dessa ekvationer för att hitta vilken variabel vi är intresserad av. Till exempel

båglängd=circumference×c360
=2πr×c360
sektorområde=circle area×c360
=πr2×c360

där r är cirkelns radie, och c är storleken på den centrala vinkeln.

Om den centrala vinkeln mäts i radianer snarare än grader , kan vi använda samma ekvationer, men måste ersätta 360° med :

båglängd=2πr×c2π
=r×c
sektorområde=πr2×c2π
=12r2c

Lägg märke till hur ekvationerna blir mycket enklare och π avbryter överallt. Detta beror på, som ni kanske minns, att definitionen av radianer i princip är en bågs längd i en cirkel med radie 1.

Låt oss nu se hur vi kan använda bågar och sektorer för att beräkna jordens omkrets.

I det forna Egypten låg staden Swenet längs floden Nilen. Swenet var berömd för en brunn med en nyfiken egendom: det fanns ett ögonblick varje år när solljuset nådde botten av brunnen - klockan 21 juni, sommardagens sommarsolstånd . Vid den exakta tiden belyses brunnens botten, men inte dess sidor, vilket innebar att solen stod direkt ovanför brunnen.

Forntida egyptier mätte långa avstånd genom att räkna antalet steg som det tog för att gå.

Vissa källor säger att "Eratosthenes-brunnen" fanns på elefantön på Nilen.

Matematikern Eratosthenes bodde i Alexandria , cirka 800 km norr om Swenet, där han var chef för det stora biblioteket. I centrum av Alexandria stod en obelisk, ett högt, smalt monument med en pyramidformad topp.

Eratosthenes märkte att vid middagstid dagen på sommarsolståndet kastade obelisken en skugga - vilket betyder att solen inte låg direkt ovanför den. Han drog slutsatsen att detta berodde på jordens krökning och insåg att den kunde användas för att beräkna vår planet omkrets.

Här kan du se brunnen i Swenet och obelisken i Alexandria. Solstrålarna faller direkt in i brunnen, men träffar obelisken i en vinkel och kastar en skugga.

Eratosthenes mätte att skuggvinkeln var 7,2°. Detta är samma sak som centrala vinkeln båge från Alexandria till Swenet, för de vinklar.

Nu kan vi använda ekvationen för båglängd som vi härledde ovan:

arc lengthcircumference=°360°

Om vi omorganiserar detta finner vi att jordens omkrets är

circumference=360°7.2°×800 km=km

Slutligen vet vi att cirkelns omkrets är C=2πr , så jordens radie är

rEarth=40000km2π6400km .

Eratosthenes mätning var ett av de viktigaste experimenten i antiken. Hans uppskattning av jordens storlek var förvånansvärt korrekt, särskilt när han tänkte på att han bara hade tillgång till mycket grundläggande mätverktyg.

Naturligtvis kan det vara svårt att översätta hans ursprungliga resultat till moderna enheter som kilometer. I det antika Grekland mättes avståndet i stadia (cirka 160 m), men det fanns ingen universell standard. Varje område hade en något annorlunda version, och vi vet inte vilken Eratosthenes använde.

Under följande århundraden försökte forskare att använda andra metoder för att beräkna jordens radie - ibland med mycket olika och felaktiga resultat.

Det var en av dessa felaktiga mätningar som fick Christopher Columbus att segla västerut från Portugal. Han antog att jorden var mycket mindre än den faktiskt är och hoppades att nå Indien. I själva verket anlände han till en annan kontinent däremellan: Amerika.

segment

KOMMER SNART!