English
عربى
中文
Deutsch
Español
Français
हिन्दी
Hrvatski
Italiano
日本語
Português
Română
Русский
Svenska
Türkçe
Tiếng ViệtCirklar och PiTangenter, ackord och bågar
I de föregående avsnitten lärde du dig namnen som givits till flera olika delar av en cirkel - som mitt, radie, diameter och omkrets. Det finns dock många geometriska element relaterade till en cirkel, som vi måste lösa mer komplexa problem:
- EN secant är en linje som skär en cirkel vid två punkter.
- EN ackord är ett linjesegment vars ändpunkter ligger på en cirkelns omkrets.
- EN tangent är en linje som vidrör en cirkel på exakt en punkt. Detta kallas punkten för tangens .
- En båge är en sektion av en cirkelns omkrets.
- EN sektor är en del av det inre av en cirkel, avgränsat av en båge och två radier .
- Slutligen, a segment är en del av det inre av en cirkel, avgränsat av en båge och ett ackord .
I det här avsnittet kommer vi att titta på förhållandet mellan alla dessa element och bevisa teorier om deras egenskaper. Oroa dig inte för att memorera alla definitioner för tillfället - du kan alltid använda
tangenter
KOMMER SNART!
Chords
KOMMER SNART!
Bågar och sektorer
De flesta forskare i antika Grekland var överens om att jorden är en sfär. Det fanns gott om bevis: från fartyg som försvann bakom horisonten vid havet, till stjärnornas cirkulära rörelse under natten.
Tyvärr visste ingen exakt hur stor jorden var - förrän omkring 200 f.Kr., när matematikern
Som du kan se i diagrammet, en båge är en del av
Bågen mellan två punkter A och B skrivs ofta som
Den mindre av de två bågarna kallas den mindre bågen , och den större kallas den stora bågen . Om punkterna A och B är exakt mitt emot varandra, har båda bågarna samma längd och är
För att hitta längden på en båge eller området för en sektor måste vi veta om motsvarande vinkel i mitten av cirkeln: detta kallas central vinkel .
Lägg märke till hur bågen, sektorn och vinkeln tar upp samma andel av en hel cirkel. Till exempel om central vinkel är , det tar
Detta innebär att längden på bågen är också
Vi kan uttrycka detta förhållande i en ekvation:
Nu kan vi ordna om dessa ekvationer för att hitta vilken variabel vi är intresserad av. Till exempel
| båglängd | = | |
| = |
| sektorområde | = | |
| = |
där r är cirkelns radie, och c är storleken på den centrala vinkeln.
Om den centrala vinkeln mäts i
| båglängd | = | |
| = |
| sektorområde | = | |
| = |
Lägg märke till hur ekvationerna blir mycket enklare och π avbryter överallt. Detta beror på, som ni kanske minns, att definitionen av radianer i princip är en bågs längd i en cirkel med radie 1.
Låt oss nu se hur vi kan använda bågar och sektorer för att beräkna jordens omkrets.
I det forna Egypten låg staden Swenet längs floden Nilen. Swenet var berömd för en brunn med en nyfiken egendom: det fanns ett ögonblick varje år när solljuset nådde botten av brunnen - klockan 21 juni, sommardagens sommarsolstånd . Vid den exakta tiden belyses brunnens botten, men inte dess sidor, vilket innebar att solen stod direkt ovanför brunnen.
Forntida egyptier mätte långa avstånd genom att räkna antalet steg som det tog för att gå.
Vissa källor säger att "Eratosthenes-brunnen" fanns på elefantön på Nilen.
Matematikern
Eratosthenes märkte att vid middagstid dagen på sommarsolståndet kastade obelisken en skugga - vilket betyder att solen inte låg direkt ovanför den. Han drog slutsatsen att detta berodde på jordens krökning och insåg att den kunde användas för att beräkna vår planet omkrets.
Här kan du se brunnen i Swenet och obelisken i Alexandria. Solstrålarna faller direkt in i brunnen, men träffar obelisken i en vinkel och kastar en skugga.
Eratosthenes mätte att skuggvinkeln var 7,2°. Detta är samma sak som centrala vinkeln på båge från Alexandria till Swenet, för de
Nu kan vi använda ekvationen för båglängd som vi härledde ovan:
Om vi omorganiserar detta finner vi att jordens omkrets är
Slutligen vet vi att cirkelns omkrets är
Eratosthenes mätning var ett av de viktigaste experimenten i antiken. Hans uppskattning av jordens storlek var förvånansvärt korrekt, särskilt när han tänkte på att han bara hade tillgång till mycket grundläggande mätverktyg.
Naturligtvis kan det vara svårt att översätta hans ursprungliga resultat till moderna enheter som kilometer. I det antika Grekland mättes avståndet i stadia (cirka 160 m), men det fanns ingen universell standard. Varje område hade en något annorlunda version, och vi vet inte vilken Eratosthenes använde.
Under följande århundraden försökte forskare att använda andra metoder för att beräkna jordens radie - ibland med mycket olika och felaktiga resultat.
Det var en av dessa felaktiga mätningar som fick Christopher Columbus att segla västerut från Portugal. Han antog att jorden var mycket mindre än den faktiskt är och hoppades att nå Indien. I själva verket anlände han till en annan kontinent däremellan: Amerika.
segment
KOMMER SNART!