Cirklar och PiSfärer, kottar och cylindrar

I de föregående avsnitten studerade vi egenskaperna hos cirklar på en plan yta. Men vår värld är faktiskt tredimensionell, så låt oss titta på vissa 3D-fasta material som är baserade på cirklar:

En cylinder består av två kongruenta, parallella cirklar förenade med en krökt yta.

En kon har en cirkulär bas som är förenad till en enda punkt (kallas topppunkten).

Varje punkt på ytan av en sfär har samma avstånd från dess centrum.

Lägg märke till hur definitionen av en sfär nästan är densamma som definitionen av en - utom i tre dimensioner!

cylindrar

Här kan du se den cylindriska gasometern i Oberhausen, Tyskland. Det brukade lagra naturgas som användes som bränsle i närliggande fabriker och kraftverk. Gasometern är 120 m lång, och dess bas och tak är två stora cirklar med radie 35 m. Det finns två viktiga frågor som ingenjörer kanske vill besvara:

Hur mycket naturgas kan lagras? Detta är cylinderns
Hur mycket stål behövs för att bygga gasmätaren? Detta är (ungefär) i cylindern.

Låt oss försöka hitta formler för båda dessa resultat!

Gasometer Oberhausen

Volym av en cylinder

Den övre och nedre delen av en cylinder är två kongruenta cirklar, kallade baser . De höjden h av en cylinder är det vinkelräta avståndet mellan dessa baser, och den radien r hos en cylinder är helt enkelt radien hos de cirkulära baserna.

Vi kan ungefärliga en cylinder med en ${n} -sidig prisma . När antalet sidor ökar börjar prismen se mer och mer ut som en cylinder:

Även om en cylinder tekniskt inte är ett prisma, delar de många egenskaper. I båda fallen kan vi hitta volymen genom att multiplicera området för deras bas med deras höjd . Detta betyder att en cylinder med radie r och höjd h har volym

Kom ihåg att radie och höjd måste använda samma enheter. Till exempel, om r och h båda är i cm, kommer volymen att vara i .

I exemplen ovan var de två baserna på cylindern alltid direkt ovanför varandra : detta kallas en höger cylinder . Om baserna inte ligger direkt ovanför varandra har vi en sned cylinder . Baserna är fortfarande parallella, men sidorna verkar ”luta sig över” i en vinkel som inte är 90°.

Det lutande tornet i Pisa i Italien är inte riktigt en sned cylinder.

Volymen på en sned cylinder visar sig vara exakt densamma som för en höger cylinder med samma radie och höjd. Detta beror på Cavalieris princip , uppkallad efter den italienska matematikern Bonaventura Cavalieri : om två fasta ämnen har samma tvärsnittsarea i varje höjd, kommer de att ha samma volym.

Föreställ dig att skära en cylinder i massor av tunna skivor. Vi kan sedan skjuta dessa skivor horisontellt för att få en sned cylinder. Volymen för de enskilda skivorna förändras inte när du gör dem sned, därför förblir den totala volymen också konstant:

Ytans yta på en cylinder

För att hitta ytan på en cylinder måste vi "rulla upp" den i dess platta nät . Du kan prova detta själv, till exempel genom att skala bort etiketten på en burk mat.

Det finns två , en längst upp och en längst ner på cylindern. Den böjda sidan är faktiskt en stor .

De två cirklarna har vardera området .
Rektangelns höjd är och rektangelns bredd är densamma som : .

Detta innebär att den totala ytarean för en cylinder med radie r och höjd h ges av

A= .

Cylindrar finns överallt i vår värld - från sodavatten till toalettpapper eller vattenledningar. Kan du tänka på några andra exempel?

Gasometern ovan hade en radie på 35 m och en höjd av 120 m. Vi kan nu beräkna att dess volym är ungefär m3 och dess ytarea är ungefär m2 .

kottar

En kon är en tredimensionell fast substans som har en cirkulär bas . Dess sida "avsmalnar uppåt" som visas i diagrammet och slutar i en enda punkt som kallas toppunkt .

De radie av könen är radien hos den cirkulära basen, och konens höjd är vinkelrätt avstånd från bas till topp.

Precis som andra former vi träffade tidigare, är kottar överallt runt oss: glass kottar, trafikkottar, vissa tak och till och med julgranar. Vad mer kan du tänka på?

Volym av en kon

Vi hittade tidigare volymen på en cylinder genom att approximera den med ett prisma. På liknande sätt kan vi hitta volummen på en kon genom att approximera den med en pyramid .

Här kan du se en ${n} -sidig pyramid. När antalet sidor ökar börjar pyramiden se mer och mer ut som en kon. Vi kan faktiskt tänka på en kon som en pyramid med oändligt många sidor!

Detta innebär också att vi också kan använda ekvationen för volymen: V=13base×height . Basen på en kon är en cirkel, så volymen för en kon med radie r och höjd h är

Lägg märke till likheten med ekvationen för volymen på en cylinder. Tänk dig att rita en cylinder runt konen, med samma bas och höjd - det kallas den omskrevna cylindern . Nu tar konan upp exakt av cylinderns volym:

Obs: Du kanske tror att oändligt många små sidor som en tillnärmning är lite "upresis". Matematiker tillbringade lång tid på att försöka hitta ett mer enkelt sätt att beräkna konens volym. 1900 utsåg den stora matematikern David Hilbert till och med det som ett av de 23 viktigaste olösta problemen i matematik! Idag vet vi att det faktiskt är omöjligt.

Precis som en cylinder behöver en kon inte vara "rak". Om toppmaterialet är direkt över basens centrum har vi en rätt kon . Annars kallar vi det en sned kon .

Återigen kan vi använda Cavalieris princip för att visa att alla sneda kottar har samma volym, så länge de har samma bas och höjd.

Ytan på en kon

Att hitta ytan på en kon är lite svårare. Som tidigare kan vi ta upp en kon i dess nät. Flytta reglaget för att se vad som händer: i det här fallet får vi en cirkel och en .

Nu måste vi bara lägga till området för båda dessa komponenter. De basen är en cirkel med radie r , så dess yta är

ABase= .

Radien för sektoren är densamma som avståndet från kottens kant till dess topp. Detta kallas lutningshöjden s på konen, och inte samma som den normala höjd h . Vi kan hitta snedhöjden med Pythagoras :

s2	=
s	=

De sektorens båglängd är densamma som av bas : 2πr . Nu kan vi hitta området inom sektorn med formeln vi härledde i ett tidigare avsnitt:

ASector	=	ACircle×arccircumference
	=

Slutligen måste vi bara lägga till området basen och området för sektor , för att få den totala ytan är av konen:

sfärer

En sfär är en tredimensionell fast substans som består av alla punkter som har samma avstånd från en given centrum C. Detta avstånd kallas sfärens radie r .

Du kan tänka på en sfär som en "tredimensionell cirkel ". Precis som en cirkel har en sfär också en diameter d , som är radieens längd, liksom ackord och fästen.

I ett tidigare avsnitt lärde du dig hur den grekiska matematikern Eratosthenes beräknade jordens radie med skuggan av en pol - den var 6 371 km. Låt oss försöka hitta jordens totala volym och ytarea.

Volym av en sfär

För att hitta volymen på en sfär måste vi än en gång använda Cavalieris princip. Låt oss börja med en halvkula - en sfär skuren i hälften längs ekvatorn. Vi behöver också en cylinder med samma radie och höjd som halvklotet, men med en inverterad kon "utskuren" i mitten.

När du flyttar reglaget under kan du se tvärsnittet av båda dessa former i en specifik höjd över basen:

Låt oss försöka hitta tvärsnittsområdet för båda dessa fasta ämnen på avstånd höjd h över basen.

Tvärsnittet av halvklotet är alltid en .

De radien x av tvärsnittet är en del av a rätvinklad triangel , så vi kan använda Pythagoras :

r2=h2+x2 .

Nu är tvärsnittsområdet

Tvärsnittet på den utskurna cylindern är alltid en .

Hålets radie är h . Vi kan hitta området på ringen genom att subtrahera hålets area från området med den större cirkeln:

A	=	πr2−πh2
	=	πr2−h2

Det ser ut som att båda fasta partiklar har samma tvärsnittsarea på alla nivåer. Enligt Cavalieris princip måste båda fasta partiklar också ha samma ! Vi kan hitta volymen på halvklotet genom att subtrahera volymen på cylindern och konens volym:

VHemisphere	=	VCylinder−VCone
	=

En sfär består av halvsfärer, vilket betyder att dess volym måste vara

V=43πr3 .

Jorden är (ungefär) en sfär med en radie av 6 371 km. Därför är dess volym

V	=
	=	1 km3

Jordens genomsnittliga densitet är 5510kg/m3 . Detta betyder att dess totala massa är

Mass=Volume×Density≈6×1024kg

Det är en 6 följt av 24 nollor!

Om du jämför ekvationerna för volymen på en cylinder, kon och sfär, kanske du märker ett av de mest tillfredsställande förhållandena inom geometri. Föreställ dig att vi har en cylinder med samma höjd som basens diameter. Vi kan nu passa både en kon och en sfär perfekt inuti:

Denna kon har radie r och höjd 2r . Dess volym är

Denna sfär har radie r . Dess volym är

Denna cylinder har radie r och höjd 2r . Dess volym är

Lägg märke till hur, om vi konens volym och sfär, vi får exakt cylinderns volym!

Ytan på en sfär

Att hitta en formel för ytan på en sfär är mycket svårt. En anledning är att vi inte kan öppna och "platta" ytan på en sfär, som vi gjorde för kottar och cylindrar tidigare.

Detta är en speciell fråga när du försöker skapa kartor. Jorden har en krökt, tredimensionell yta, men varje tryckt karta måste vara platt och tvådimensionell. Detta innebär att geografer måste fuska: genom att sträcka eller klämma in vissa områden.

Här kan du se några olika typer av kartor, så kallade projektioner . Försök flytta det röda torget och se hur det här området verkligen ser ut i världen:

Mercator

Cylindrical

Robinson

Mollweide

As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.

För att hitta en sfärs ytarea kan vi återigen ungefärliga det med en annan form - till exempel en polyhedron med många ansikten. När antalet ansikten ökar börjar polyederen se mer och mer ut som en sfär.

KOMMER GÅNGT: Sfärytans ytskydd

Ändra språk

Logga in på Mathigon

Dela med sig

Återställ framsteg

Ordlista