English
عربى
中文
Deutsch
Español
Français
हिन्दी
Hrvatski
Italiano
日本語
Português
Română
Русский
Svenska
Türkçe
Tiếng ViệtCirklar och PiSfärer, kottar och cylindrar
I de föregående avsnitten studerade vi egenskaperna hos cirklar på en plan yta. Men vår värld är faktiskt tredimensionell, så låt oss titta på vissa 3D-fasta material som är baserade på cirklar:
En En cylinder är ett tredimensionellt fast material bestående av två kongruenta, parallella, cirkulära sidor (baserna), förenade med en krökt yta. Du kan också tänka på en cylinder som ett "cirkulärt prisma".
En En kon är en tredimensionell fast substans som har en cirkulär bas förenad med en enda punkt (kallas toppunktet) av en krökt sida. Du kan också tänka på en kon som en "cirkulär pyramid". En höger kon är en kon med dess topp direkt ovanför mitten av sin bas.
Varje punkt på ytan av en En sfär är en tredimensionell fast substans som består av alla punkter som har samma avstånd från ett givet centrum. Detta avstånd kallas sfären radien.
Lägg märke till hur definitionen av en sfär nästan är densamma som definitionen av en
cylindrar
Här kan du se den cylindriska gasometern i Oberhausen, Tyskland. Det brukade lagra naturgas som användes som bränsle i närliggande fabriker och kraftverk. Gasometern är 120 m lång, och dess bas och tak är två stora cirklar med radie 35 m. Det finns två viktiga frågor som ingenjörer kanske vill besvara:
- Hur mycket naturgas kan lagras? Detta är
??? cylinderns - Hur mycket stål behövs för att bygga gasmätaren? Detta är (ungefär)
??? i cylindern.
Låt oss försöka hitta formler för båda dessa resultat!
Gasometer Oberhausen
Volym av en cylinder
Den övre och nedre delen av en cylinder är två kongruenta cirklar, kallade baser . De höjden h av en cylinder är det vinkelräta avståndet mellan dessa baser, och den radien r hos en cylinder är helt enkelt radien hos de cirkulära baserna.
Vi kan ungefärliga en cylinder med en Ett prisma är ett tredimensionellt fast ämne som har två kongruenta ytor som är polygoner (kallas baserna), vars motsvarande vertikaler förenas av parallella segment. De återstående ansiktena på ett prisma är alla rektanglar eller parallellogram.
Även om en cylinder tekniskt inte är ett prisma, delar de många egenskaper. I båda fallen kan vi hitta volymen genom att multiplicera området för deras bas med deras höjd . Detta betyder att en cylinder med radie r och höjd h har volym
Kom ihåg att radie och höjd måste använda samma enheter. Till exempel, om r och h båda är i cm, kommer volymen att vara i
I exemplen ovan var de två baserna på cylindern alltid direkt ovanför varandra : detta kallas en höger cylinder . Om baserna inte ligger direkt ovanför varandra har vi en sned cylinder . Baserna är fortfarande parallella, men sidorna verkar ”luta sig över” i en vinkel som inte är 90°.
Det lutande tornet i Pisa i Italien är inte riktigt en sned cylinder.
Volymen på en sned cylinder visar sig vara exakt densamma som för en höger cylinder med samma radie och höjd. Detta beror på Cavalieris princip säger att om två fasta partiklar har samma höjd och samma tvärsnittsarea på varje nivå, så har de båda samma volym. Vi kan använda detta faktum för att härleda att volymen av prismor och cylindrar är deras tvärsnitt multiplicerat med deras höjd. Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) var en italiensk matematiker och munk. Han utvecklade en föregångare till den infinitesimala beräkningen och kommer ihåg för Cavalieris princip att hitta volymen av fasta ämnen i geometri. Cavalieri arbetade också inom optik och mekanik, introducerade logaritmer till Italien och utbytte många brev med Galileo Galilei.
Föreställ dig att skära en cylinder i massor av tunna skivor. Vi kan sedan skjuta dessa skivor horisontellt för att få en sned cylinder. Volymen för de enskilda skivorna förändras inte när du gör dem sned, därför förblir den totala volymen också konstant:
Ytans yta på en cylinder
För att hitta ytan på en cylinder måste vi "rulla upp" den i dess platta nät för en polyhedron är vad du får när du "veckar ut" dess polygonala ytor på en plan yta.
Det finns två
- De två cirklarna har vardera området
- Rektangelns höjd är
??? :
Detta innebär att den totala ytarean för en cylinder med radie r och höjd h ges av
Cylindrar finns överallt i vår värld - från sodavatten till toalettpapper eller vattenledningar. Kan du tänka på några andra exempel?
Gasometern ovan hade en radie på 35 m och en höjd av 120 m. Vi kan nu beräkna att dess volym är ungefär
kottar
En En kon är en tredimensionell fast substans som har en cirkulär bas förenad med en enda punkt (kallas toppunktet) av en krökt sida. Du kan också tänka på en kon som en "cirkulär pyramid". En höger kon är en kon med dess topp direkt ovanför mitten av sin bas.
De radie av könen är radien hos den cirkulära basen, och konens höjd är vinkelrätt avstånd från bas till topp.
Precis som andra former vi träffade tidigare, är kottar överallt runt oss: glass kottar, trafikkottar, vissa tak och till och med julgranar. Vad mer kan du tänka på?
Volym av en kon
Vi hittade tidigare volymen på en cylinder genom att approximera den med ett prisma. På liknande sätt kan vi hitta volummen på en kon genom att approximera den med en En pyramid är en polyhedron som har en polygon som bas och triangulära ytor runt utsidan, som avsmalnar till ett toppunkt. I en höger vanlig pyramid är basen en vanlig polygon och toppunkten är direkt ovanför basens centrum.
Här kan du se en
Detta innebär också att vi också kan använda ekvationen för volymen:
Lägg märke till likheten med ekvationen för volymen på en cylinder. Tänk dig att rita en cylinder runt konen, med samma bas och höjd - det kallas den omskrevna cylindern . Nu tar konan upp exakt
Obs: Du kanske tror att oändligt många små sidor som en tillnärmning är lite "upresis". Matematiker tillbringade lång tid på att försöka hitta ett mer enkelt sätt att beräkna konens volym. 1900 utsåg den stora matematikern David Hilbert (1862 - 1943) var en av de mest inflytelserika matematikerna under 1900-talet. Han arbetade på nästan alla områden inom matematik och var särskilt intresserad av att bygga en formell, logisk grund för matematik. Hilbert arbetade i Göttingen (Tyskland), där han handledde flera studenter som senare blev berömda matematiker. Under den internationella matematikarkongressen 1900 presenterade han en lista med 23 olösta problem. Dessa satte kursen för framtida forskning - och fyra av dem är fortfarande olösta i dag!
Precis som en cylinder behöver en kon inte vara "rak". Om toppmaterialet är direkt över basens centrum har vi en rätt kon . Annars kallar vi det en sned kon .
Återigen kan vi använda Cavalieris princip för att visa att alla sneda kottar har samma volym, så länge de har samma bas och höjd.
Ytan på en kon
Att hitta ytan på en kon är lite svårare. Som tidigare kan vi ta upp en kon i dess nät. Flytta reglaget för att se vad som händer: i det här fallet får vi en cirkel och en
Nu måste vi bara lägga till området för båda dessa komponenter. De basen är en cirkel med radie r , så dess yta är
Radien för sektoren är densamma som avståndet från kottens kant till dess topp. Detta kallas lutningshöjden s på konen, och inte samma som den normala höjd h . Vi kan hitta snedhöjden med Pythagoras 'sats säger att i varje rätvinklad triangel,
+ × π | ||
+ × |
De sektorens båglängd är densamma som En sektor av en cirkel är en del av dess inre, avgränsad av två radier och en båge. Dess yta är proportionell mot den inre vinkeln, liksom längden på bågen. Detta innebär att 
+ − × ÷ π |
Slutligen måste vi bara lägga till området basen och området för sektor , för att få den totala ytan är av konen:
sfärer
En En sfär är en tredimensionell fast substans som består av alla punkter som har samma avstånd från ett givet centrum. Detta avstånd kallas sfären radien.
Du kan tänka på en sfär som en "tredimensionell En cirkel är uppsättningen för alla punkter i två dimensioner, på ett fast avstånd (radien) från en given punkt (mitt).
I ett tidigare avsnitt lärde du dig hur den grekiska matematikern Eratosthenes of Cyrene (c. 276 - 195 f.Kr.) var en grekisk matematiker, geograf, astronom, historiker och poet. Han tillbringade mycket av sitt liv i Egypten som chef för Alexandrias bibliotek. Bland många andra framsteg beräknade Eratosthenes jordens omkrets, mätt lutningen av jordens rotationsaxel, uppskattade avståndet till solen och skapade några av de första kartorna över världen. Han uppfann också ”Sieve of Eratosthenes”, ett effektivt sätt att beräkna primtal.
Volym av en sfär
För att hitta volymen på en sfär måste vi än en gång använda Cavalieris princip. Låt oss börja med en halvkula - en sfär skuren i hälften längs ekvatorn. Vi behöver också en cylinder med samma radie och höjd som halvklotet, men med en inverterad kon "utskuren" i mitten.
När du flyttar reglaget under kan du se tvärsnittet av båda dessa former i en specifik höjd över basen:
Låt oss försöka hitta tvärsnittsområdet för båda dessa fasta ämnen på avstånd höjd h över basen.
Tvärsnittet av halvklotet är alltid en
De radien x av tvärsnittet är en del av a rätvinklad triangel , så vi kan använda Pythagoras 'sats säger att i varje rätvinklad triangel,
Nu är tvärsnittsområdet
| A | = | + − × ÷ π |
Tvärsnittet på den utskurna cylindern är alltid en
Hålets radie är h . Vi kan hitta området på ringen genom att subtrahera hålets area från området med den större cirkeln:
| A | = | |
| = |
Det ser ut som att båda fasta partiklar har samma tvärsnittsarea på alla nivåer. Enligt Cavalieris princip måste båda fasta partiklar också ha samma Volymen för en cylinder anges av ekvationen där r är radien för den cirkulära basen, och h är höjden på cylindern (vinkelrätt avståndet mellan de två baserna). Konens volym anges av ekvationen där r är radien för den cirkulära basen, och h är konens höjd (det vinkelräta avståndet från basen till topppunkten).
| = | ||
| = | + − × ÷ π |
En sfär består av
Jorden är (ungefär) en sfär med en radie av 6 371 km. Därför är dess volym
+ − × ÷ π | ||
| 1 |
Jordens genomsnittliga densitet är
Det är en 6 följt av 24 nollor!
Om du jämför ekvationerna för volymen på en cylinder, kon och sfär, kanske du märker ett av de mest tillfredsställande förhållandena inom geometri. Föreställ dig att vi har en cylinder med samma höjd som basens diameter. Vi kan nu passa både en kon och en sfär perfekt inuti:
Denna kon har radie
Denna sfär har radie
Denna cylinder har radie
Lägg märke till hur, om vi
Ytan på en sfär
Att hitta en formel för ytan på en sfär är mycket svårt. En anledning är att vi inte kan öppna och "platta" ytan på en sfär, som vi gjorde för kottar och cylindrar tidigare.
Detta är en speciell fråga när du försöker skapa kartor. Jorden har en krökt, tredimensionell yta, men varje tryckt karta måste vara platt och tvådimensionell. Detta innebär att geografer måste fuska: genom att sträcka eller klämma in vissa områden.
Här kan du se några olika typer av kartor, så kallade projektioner . Försök flytta det röda torget och se hur det här området verkligen ser ut i världen:
As you move the square on the map, notice how the size and shape of the actual area changes on the three-dimensional globe.
För att hitta en sfärs ytarea kan vi återigen ungefärliga det med en annan form - till exempel en polyhedron med många ansikten. När antalet ansikten ökar börjar polyederen se mer och mer ut som en sfär.
KOMMER GÅNGT: Sfärytans ytskydd