Cirklar och PiGrader och radianer

Hittills inom geometri har vi alltid mätt vinklar i grader . EN full cirkelrotation är °, a halvcirkeln är °, a kvartcirkeln är °, och så vidare.

Numret 360 är mycket bekvämt eftersom det kan delas med så många andra nummer: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 och så vidare. Detta betyder att många fraktioner av en cirkel också är hela siffror. Men har du någonsin undrat var numret 360 kommer ifrån?

Som det händer är 360 grader ett av de äldsta begreppen i matematik som vi fortfarande använder idag. De utvecklades i antika Babylon för mer än 5000 år sedan!

Vid den tiden var en av de viktigaste tillämpningarna av matematik inom astronomi. Solen avgör de fyra säsongerna, som jordbrukarna måste veta om när de odlar grödor. På liknande sätt bestämmer månen tidvattnet, vilket var viktigt för fiskare. Människor studerade också stjärnorna för att förutsäga framtiden eller för att kommunicera med gudar.

En babylonisk tablett för beräkning 2

Astronomer märkte att konstellationerna som var synliga vid en viss tid under natten skiftade en liten bit varje dag - tills de efter ungefär 360 dagar hade roterat tillbaka till sin utgångspunkt. Och det kan ha varit orsaken till att de delade cirkeln i 360 grader.

Midnight on day ${day}

Naturligtvis finns det faktiskt 365 dagar på ett år (väl, 365.242199 för att vara exakt), men babyloniska matematiker arbetade med enkla solurar, och denna tillnärmning var helt tillräcklig.

Det fungerade också bra med deras befintliga bas-60-nummersystem (sedan 6×60=360 ). Detta system är anledningen till att vi fortfarande har 60 sekunder på en minut och 60 minuter på en timme - även om de flesta andra enheter mäts i bas 10 (t.ex. 10 år på ett decennium, eller 100 år på ett sekel).

För många av oss är att mäta vinklar i grader andra naturen: det finns 360° -video, skateboardåkare kan dra 540-tal, och någon som ändrar sitt beslut kan göra en 180° -sväng.

Men ur en matematisk synvinkel är valet av 360 helt godtyckligt. Om vi bodde på Mars kan en cirkel ha 670° och ett år på Jupiter har till och med 10 475 dagar.

540 McFlip, en 540° rotation

radianer

I stället för att dela upp en cirkel i ett visst antal segment (som 360 grader) föredrar matematiker ofta att mäta vinklar med hjälp av omkretsen av en enhetscirkel (en cirkel med radie 1).

EN har omkrets .

För en , motsvarande avstånd längs omkretsen .

För en , avståndet längs omkretsen är .

Och så vidare: detta sätt att mäta vinklar kallas radianer (du kan komma ihåg detta som "radienheter").

Varje vinkel i grader har en motsvarande storlek i radianer. Det är mycket enkelt att konvertera mellan de två - precis som du kan konvertera mellan andra enheter som meter och kilometer, eller Celsius och Fahrenheit:

360° = 2 π rad

⇒ 1° = rad

⇒ 1 rad = °

Du kan skriva radianvärdet antingen som en multipel av π eller som bara ett decimaltal. Kan du fylla i denna tabell med ekvivalenta vinkelstorlekar i grader och radianer?

grader	0	60		180
radianer	0		2		32π

Resa avstånd

Du kan tänka på radianer som "rest avstånd" längs en enhetscirkel. Detta är särskilt användbart när du arbetar med föremål som rör sig på en cirkulär bana.

Till exempel går den internationella rymdstationen runt jorden en gång var 1,5 / timme. Detta betyder att dess rotationshastighet är radianer per timme.

I en enhetscirkel är rotationshastigheten densamma som den verkliga hastigheten, eftersom omkretsens längd är densamma som en full rotation i radianer (båda är 2π ).

ISS-banans radie är 6800 km, vilket innebär att ISS: s faktiska hastighet måste vara = 28483 km per timme.

${round(p*1.5,1)}h

Kan du se att radianer i detta exempel är en mycket bekvämare enhet än grader? När vi väl vet rotationshastigheten måste vi helt enkelt multiplicera med radien för att få den faktiska hastigheten.

Här är ett annat exempel: din bil har hjul med radie 0,25 m. Om du kör med en hastighet av 20 m / s, roterar bilens hjul på radianer per sekund (eller 802π=13 rotationer per sekund).

Trigonometri

För de flesta enkla geometriproblem, grader och radianer är helt utbytbara - du kan antingen välja vilken du föredrar, eller så kan en fråga säga vilken enhet du ska ge ditt svar på. Men när du studerar mer avancerad trigonometri eller kalkyl visar det sig att radianer är mycket bekvämare än grader.

De flesta miniräknare har en speciell knapp för att växla mellan grader och radianer. Trigonometriska funktioner som synd , cos och solbränna tar vinklar som ingång, och deras omvända funktioner arcsin , arccos och arctan returr vinklar som utgång. Den aktuella räknarinställningen bestämmer vilka enheter som används för dessa vinklar.

Försök använda den här räknaren för att beräkna det

sin (30°) = cos (1°) = sin (30 rad) = cos (1 rad) =

DEG

sin

cos

tan

mode

Att använda radianer har en särskilt intressant fördel när du använder Sine-funktionen. Om θ är en mycket liten vinkel (mindre än 20° eller 0,3 rad), då sinθ≈θ . Till exempel,

synd( ${x} ) ≈${sin(x)} ...

Detta kallas den lilla vinkeln approximation , och det kan i hög grad förenkla vissa ekvationer som innehåller trigonometriska funktioner. Du kommer att lära dig mycket mer om detta i framtiden.

Ändra språk

Logga in på Mathigon

Dela med sig

Återställ framsteg

Ordlista

Cirklar och PiGrader och radianer

radianer

Resa avstånd

Trigonometri