Cirklar och PiIntroduktion

Varje punkt på en cirkel har samma avstånd från centrum. Detta innebär att de kan ritas med en kompass :

En viktig egenskap hos cirklar är att alla cirklar är lika . Du kan bevisa att genom att visa hur alla cirklar kan matchas med helt enkelt översättningar och utvidgningar :

Du kanske kommer ihåg att för liknande polygoner är förhållandet mellan motsvarande sidor alltid konstant. Något liknande fungerar för cirklar: förhållandet mellan periferin och diametern är lika för alla cirklar . Det är alltid 3.14159 ... - ett mystiskt nummer som heter Pi , som ofta skrivs som den grekiska bokstaven π för “p”. Pi har oändligt många decimalsiffror som pågår för alltid utan något specifikt mönster:

Här är ett hjul med diameter 1. När du "rullar upp" omkretsen kan du se att dess längd är exakt π2·π 3 :

För en cirkel med diameter d är omkretsen C=π×d . På samma sätt är omkretsen för en cirkel med radie r

C= 2πrπrπr2 .

Cirklar är perfekt symmetriska, och de har inga "svaga punkter" som hörnen på en polygon. Detta är en av orsakerna till att de finns överallt i naturen:

Och det finns så många andra exempel: från regnbågar till vattenkrusningar. Kan du tänka på något annat? Fortsätta

Området för en cirkel

Men hur beräknar vi faktiskt en cirkelyta? Låt oss försöka samma teknik som vi använde för att hitta området med fyrkantiga sidor : vi skär formen i flera olika delar och ordnar sedan dem till en annan form som vi redan känner till området (t.ex. en rektangel eller en triangel).

Den enda skillnaden är att eftersom cirklar är böjda, måste vi använda några tillnärmningar:

Om vi skulle kunna använda oändligt många ringar eller kilar skulle tillnärmningarna ovan vara perfekta - och de båda ger oss samma formel för området med en cirkel:

A=πr2 . Fortsätta

Beräknar Pi

Som du såg ovan, π=3.1415926… är inte ett enkelt heltal och dess decimalsiffror fortsätter för evigt, utan att upprepa ett mönster. Nummer med den här egenskapen kallas irrationella nummer , och det betyder det π kan inte uttryckas som en enkel bråk ab .

Det betyder också att vi aldrig kan skriva ner alla siffrorna i Pi - det finns ju oändligt många. Antika grekiska och kinesiska matematiker beräknade de första fyra decimalsiffrorna av Pi genom att ungefärliga cirklar med vanliga polygoner. Lägg märke till hur, när du lägger till fler sidor, polygonen börjar se mer och mer ut mindre precis som en cirkel:

En metod för att beräkna Pi är att använda oändliga antal sekvenser. Här är ett exempel som upptäcktes av Gottfried Wilhelm Leibniz 1676:

π=41−43+45−47+49−4+…

När vi beräknar fler och fler termer i denna serie, alltid efter samma mönster, kommer resultatet att komma närmare och närmare Pi.

Om Pi är normalt betyder det att du kan tänka på vilken siffra som helst och att den kommer att visas någonstans i siffrorna. Här kan du söka efter de första en miljon siffrorna i Pi - innehåller de din födelsedag?

Vi kunde till och med konvertera en hel bok, som Harry Potter, till en mycket lång rad siffror (a = 01, b = 02, och så vidare). Om Pi är normalt visas den här strängen någonstans i siffrorna - men det tar miljoner år att beräkna tillräckligt med siffror för att hitta den.

Pi är lätt att förstå, men av grundläggande betydelse i vetenskap och matematik. Det kan vara en anledning till att Pi har blivit ovanligt populärt i vår kultur (åtminstone jämfört med andra ämnen i matematik):

Det finns till och med en Pi-dag varje år, som antingen faller den 14 mars, för π≈3.14 , eller den 22 juli, för π≈227 .