FraktalerSierpinski-triangeln

Här är några exempel på golvbeläggningar från olika kyrkor i Rom:

Som det visar sig visas Sierpinski-triangeln inom ett stort antal andra områden inom matematik, och det finns många olika sätt att generera den. I det här kapitlet kommer vi att utforska några av dem! Fortsätt

Pascal's Triangle

Du kanske redan kommer ihåg Sierpinski-triangeln från vårt kapitel om Pascal's triangel. Detta är en sifferpyramid där varje nummer är summan av de två siffrorna ovan. Klicka på alla jämnt siffror i triangeln nedan för att markera dem - och se om du märker ett mönster:

Pascal's triangel kan fortsättas nedåt för alltid, och Sierpinski-mönstret kommer att fortsätta med större och större trianglar. Du kan redan se början på en ännu större triangel som börjar i rad 16.

Om två angränsande celler kan delas med 2, måste deras summa i cellen under också vara delbar med 2 - det är därför vi bara kan få färgade trianglar (eller enstaka celler). Naturligtvis kan vi också prova att färga alla celler som kan delas med siffrorna andra än 2. Vad tror du kommer att hända i dessa fall? Fortsätt

Här kan du se en liten version av de första 128 raderna av Pascal triangel. Vi har markerat alla celler som är delbara med ${n} - vad märker du?

För varje nummer har vi ett annat triangulärt mönster som liknar Sierpinski-triangeln. Mönstret är särskilt regelbundet om vi väljer ett primtaltriangle numberFibonacci number. Om antalet har många olika huvudfaktorer ser mönstret mer slumpmässigt ut.

Chaos Game

Denna process kallas Chaos Game. Det kan finnas några strömpunkterna i början, men om du upprepar samma steg många gånger börjar fördelningen av prickar se ut precis som Sierpinski-triangeln!

Det finns många andra versioner av det - till exempel kan vi börja med en fyrkant eller en femkant, vi kan lägga till ytterligare regler som att inte kunna välja samma topppunkt två gånger i rad, eller vi kan välja nästa punkt i ett förhållande annat än 12 längs segmentet. I några av dessa fall får vi bara en slumpmässig fördelning av prickar, men i andra fall avslöjar vi ännu fler fraktaler:

Har du upptäckt Sierpinski-mattan eller denna femkantiga snöflinga baserat på Golden ratio?

Mobilautomater

En cellulär automat är ett rutnät som består av många enskilda celler. Varje cell kan vara i olika "tillstånd" (t.ex. olika färger), och tillståndet för varje cell bestäms av dess omgivande celler.

I vårt exempel kan varje cell vara antingen svart eller vit. Vi börjar med en rad som bara innehåller en enda svart fyrkant. I varje följande rad bestäms färgen på varje cell av de tre cellerna omedelbart ovan. Klicka på de åtta möjliga alternativen nedan för att vända deras färg - kan du hitta en uppsättning regler som skapar ett mönster som liknar Sierpinski-triangeln?

Det finns två alternativ för var och en av de åtta alternativen, vilket innebär att det finns 28= möjliga regler totalt. Några, som regel 126, ser ut som Sierpinski-triangeln. Andra, som regel 30, ser helt kaotiska ut. Det upptäcktes av Stephen Wolfram 1983, och datorer kan till och med använda dem för att generera slumpmässiga nummer!

Sierpinski Tetrahedra

Det finns många varianter av Sierpinski-triangeln och andra fraktaler med liknande egenskaper och skapande processer. Vissa ser tvådimensionella ut, som Sierpinski Mattan du såg ovan. Andra ser tredimensionella ut, som dessa exempel: